Кратные интегралы

Двойной интеграл.

Двойной интеграл - интеграл от функций двух переменных взятых по плоской области на плоскости хоу.

По определению двойной интеграл является приделом интегральной суммы.

D-Плоская область.

М _i

D

Если подинтегральной функцией непрерывна, а область интегрирования площадь, то второй интеграл существует.

Свойство двойного интеграла отличается от свойств определённого только тем, что меняется только размерность.

Вычисление двойного интеграла только зависит от вида области D.

Определение:

Правильными областями называются следующие две области.

у

D₁

a в х

y

d

D₂

c

x

Пусть область D – правильная первого типа, то второй интеграл по этой области может быть вычислен по формуле:

Если область D не является правильной, то её нужно разбить на правильные области и использовать свойства аддитивности интеграла. ( сумма интегралов - интегральная сумма)

Пример:

y

y=

y=x

x=3

1 D

1 3 x

=>

=

§27

Замена переменной в двойном интеграле

Пусть даны двойные СК, в каждой из которых задана некоторая область. Говорят, что между областями установлено взаимно однозначное соответствие, если каждой точке одной области соответствует единственная точка другой области и наоборот.

y V D^’

D

М М^’

x U

Существующее соответствие между областями задаётся следующей системой функций:

: D^’ D

: D D^’

Якобианом преобразования называется следующий определитель.

Теорема:

Д ля того что соответствие между областями было взаимно однозначным необходимо и достаточно чтобы якобиан сохранял постоянный знак и не обращался в ноль.

Замена переменной в двойном интеграле имеет вид:

D D^’ сохраняет знак, тогда

y y

x x

Система координат UV выбирается таким образом, чтобы область имело самый простой вид; якобиан сохраняет знак, и подинтегральная функция нового интеграла не была слишком сложной.

Например, в качестве новой системы координат часто используется полярная система:

Якобиан полярной системы:

Пример:

y

2

D D^’

1 2

1

x

1 2 0

Приложения двойного интеграла.

1.Обьём цилиндрического бруса

z

y

x D

2.Площадь «шапочки»

S_M=

3.Все о плоской пластине:

Пусть пластина D имеет плотность

Если

Статический момент.

=>

Центр тяжести плоской пластины D имеет вид.

Для динамики момента инерции.

§28

Тройной интеграл.

Тройной интеграл по некоторому объёму представляет обычный предел интегральной суммы.

V

Правильную облость в терёхмерном пространстве называем следующую область.

z

V

y

D

x

Пример:

Найти тройной интеграл, где область D ограничена плоскостями:

V: ограниченная поверхность

z=yx , x+y=1, z=0

dx=

x y

1

V y=1-x

1 y 0 1 x

1 x+y=1

x

Аналогично двойному интегралу в тройном можно делать замены переменных, при этом рассматривается взаимно-однозначное отображение пространственных областей, а якобиан является детерминантом третьего порядка.

Наиболее часто используются цилиндрические и сферические системы координат.

Ц.С.К

=>

С.С.К

M(x,y,z)=M(

z

M

θ

S

ᵩ y

x

Примечание:

Тройной интеграл связан со всеми характеристиками объёмного тела по которому распределено некоторая функция, например плотность: объём, массу, статические характеристики, момент инерции, центр масс, центр тяжести.

Пример:

Найти массу шара радиусом а, с центром в начале координат если

z

a

a y

a

x

С.С.К

V

§28