Кривые безразличия

Предпочтения потребителя можно представить в графической форме, задавая вопросы о том, как этот потребитель ранжировал бы альтернативы. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что люди могут указать на предпочтение, отдаваемое одной их альтернатив, или на отсутствие различия между ними.

Пусть потребитель сталкивается только с двумя товарами Х и Y. Эта предпосылка вводится для того, чтобы обеспечить возможность графического изображения некоего «пространства товаров». Хотя следует отметить, что основные выводы, полученные для двухтоварного случая, без труда распространяются на случай сколь угодно большего числа товаров.

Н а рис. 6.1 пространство между осями координат Х и Y представляет собой графическое пространство товаров Х и Y, а любая точка в этом пространстве – возможную комбинацию (набор) этих товаров.

Пусть взятая произвольно точка A характеризует исходный набор товаров. Проранжируем все возможные наборы товары относительно набора A. В результате получим, что наборы, лежащие правее и выше набора A, являются более предпочтительными, а наборы, лежащие левее и ниже набора A, менее предпочтительными относительно исходного набора.

Однако существуют наборы, относительно которых потребитель не может сказать ничего определенного. Например, в наборе C больше товара Y, но меньше товара Х, а в наборе D – наоборот.

Говорят, что эти наборы безразличны для потребителя. Соединив графически все такие наборы, получим кривую безразличия.

Кривая безразличия – это совокупность наборов, между которыми потребитель не делает различия. Эти наборы приносят ему равную общую полезность. Поэтому кривая безразличия еще называется кривой равной полезности. Все наборы, лежащие справа от кривой безразличия, приносят потребителю большую полезность, а наборы, лежащие слева, – меньшую.

Свойства кривых безразличия

1. Через любую точку в графическом пространстве товаров может быть проведена кривая безразличия.

2. Кривые безразличия не пересекаются. Предположим, что две кривые безразличия пересекаются в точке A (рис. 6.2)

Т огда (по определению кривой безразличия) набор A безразличен набору B и набор A безразличен набору C. Следовательно, по аксиоме транзитивности, наборы B и C также должны быть безразличны друг другу. Но это неверно, так как по аксиоме ненасыщаемости набор B предпочтительнее набора C.

Следовательно, две кривые безразличия не могут иметь общую точку, так как один набор товаров не может характеризоваться двумя различными уровнями полезности.

3 . На основании первых двух свойств может быть построена карта безразличия. Кривая безразличия может быть проведена через каждую точку в графическом пространстве товаров, на основании чего мы получаем множество кривых безразличия – карту безразличия, содержащую полную информацию о системе предпочтений потребителя (рис. 6.3).

4. Кривые безразличия (для большинства случаев) имеют отрицательный наклон.

5. Кривые безразличия (для большинства случаев) выпуклы к началу координат.

Для доказательства последних двух свойств вводится понятие предельной нормы замещения (замены) двух товаров, являющееся главной характеристикой системы предпочтений потребителя в ординалистском варианте, так же как в кардиналистском варианте таковым считалась предельная полезность.

Предельная норма замены товаром Х товара Y (MRS_XY) – это количество товара Y, от которого потребитель готов (желает) отказаться, с тем чтобы получить в свое распоряжение дополнительную единицу товара Х, оставаясь при этом на той же кривой безразличия, то есть при том же уровне общей полезности.

Алгебраически MRS_XY может быть записана следующим образом:

. (6.4)

З нак минус перед дробью ставится для того, чтобы оперировать положительными значениями предельной нормы замены.

Геометрически предельная норма замены иллюстрируется тангенсом угла наклона кривой безразличия (рис. 6.4).

Рассматривая предельную норму замены при бесконечно малых изменениях товара Х (при приближении точки B к точке A), мы получаем следующую формулу:

. (6.5)

О чевидно, что предельная норма замены в этом случае равна угловому коэффициенту наклона касательной к кривой безразличия в точке A (рис. 6.5).

Посмотрим теперь на динамику предельной нормы замены.

Продвигаясь по кривой безразличия, т.е. переходя от одного набора к другому, мы видим, что предельная норма замены уменьшается, что геометрически выражается в уменьшении тангенса угла наклона, т. е. кривая безразличия становится выпуклой к началу координат (4-е свойство).

Это уменьшение предельной нормы замены вполне объяснимо логически: с увеличением количества блага X и, соответственно, уменьшением количества блага Y потребитель все больше ценит ставшее относительно более дефицитным благо Y и, следовательно, готов отдать все меньшее количество единиц этого блага в обмен на каждую последующую единицу блага X.

Строго говоря, выпуклость кривой безразличия может и не соблюдаться. Рассмотрим два случая: жесткая взаимодополняемость товаров и совершенная взаимозаменяемость.

На рис. 6.6, а изображена кривая безразличия в случае жесткой взаимодополняемости, когда товары связаны в потреблении жестким соотношением и предельная норма замены равна нулю.

На рис. 6.6, б представлен случай совершенной взаимозаменяемости, когда оба товара воспринимаются потребителем как один и предельная норма замены – постоянная величина.

Но все же большинство реальных кривых безразличия лежит между этими двумя крайними случаями, и для них четвертое свойство кривых безразличия справедливо.

Более строгое доказательство выпуклости кривых безразличия базируется на действии закона убывающей предельной полезности.

Мы говорили, что в ординалистском варианте нет места количественному измерению полезности, может быть только порядок предпочтений. Но с точки зрения качественной характеристики предельная полезность может быть использована и в этом варианте.

О братимся к рис. 6.7. При переходе от набора A к набору B потребитель отказывается от некоего количества товара Y. Уменьшение общей полезности, связанное с отказом от товара Y, может быть выражено как MU_Y∆Y.

С другой стороны, потребитель увеличивает в наборе количество товара Х. Увеличение полезности, вызванное увеличением количества товара Х, в наборе выражается как MU_X∆X.

Поскольку потребитель остается на той же кривой безразличия, общая полезность набора не изменяется, т.е. в сумме прирост полезности и потеря полезности равны нулю: MU_XΔX+MU_YΔY=0. Следовательно,

. (6.6)

Таким образом, мы получили важное соотношение: предельная норма замены может быть представлена как отношение предельных полезностей товаров.

Увеличение товара Х в наборе приводит к уменьшению его предельной полезности, тогда как уменьшение товара Y приводит к увеличению его предельной полезности (в соответствии с законом убывающей предельной полезности). Следовательно, уменьшается и предельная норма замены.

Таким образом, можно сказать, что на смену закону убывающей предельной полезности приходит принцип убывающей предельной нормы замены.

Вывод: карта безразличия – множество кривых безразличия (отвечающих свойствам 1-4) – дает нам полную информацию о системе предпочтений потребителя (не требуя присвоения полезностям товарных наборов каких-либо численных значений).