2.2 Правило большинства голосов

Рассматривается случай, когда эксперты производят измерение альтернатив (объектов) , ,…, в порядковой шкале методом ранжирования. Каждое ранжирование можно представить в виде матрицы парных сравнений с элементами, определяемыми по правилу:

где i , j — номер объекта, s — номер эксперта.

Задачей обработки является построение обобщённого ранжирования по индивидуальным ранжированиям экспертов. Пусть, например, дано ранжирование одним экспертом (s=1):

Тогда матрица парных сравнений для этого ранжирования имеет вид:

	1	1	1	1	1
	0	1	1	1	1
	0	1	1	1	1
	0	0	0	1	1
	0	0	0	0	1

Если имеется n экспертов, то каждый эксперт даёт своё ранжирование, которому соответствует матрица парных сравнений. Таким образом, количество матриц парных сравнений равно числу экспертов.

Введем обозначение:

.

Величины представляют собой количество голосов, поданных экспертами за предпочтение i – го объекта j – му объекту. По правилу большинства голосов в обобщённой матрице парных сравнений в ij – м элементе ставится единица, т. е. принимается, что , если больше половины экспертов высказались за это предпочтение. Таким образом, элементы обобщённой матрицы парных сравнений находятся по формуле

(2.1)

Для получения обобщённого ранжирования по матрице обобщённых парных сравнений применяется операция транзитивного замыкания матрицы парных сравнений и ранжирование объектов по этой матрице на основе подсчёта количества единиц в каждом столбце матрицы. Объект, имеющий в своем столбце наименьшее количество единиц, получает первый ранг; второй ранг получает объект, имеющий в своем столбце больше единиц, чем первый объект, но меньше всех других объектов, и т. д.

Операция транзитивного замыкания заключается в последовательном умножении матрицы парных сравнений саму на себя до тех пор, пока полученное произведение перестанет отличаться от предыдущего шага умножения (то есть умножение выполняется до тех пор, пока для некоторого шага k не будет выполняться условие ).

Пример 2.2

В результате проведения ранжирования четырёх вариантов тестирования персонала пятью экспертами, получены комбинации ранжирования, представленные в табл. 2.5:

Таблица 2.5
	2	1	4	3
	3	2	4	1
	1	2	3	4
	3	1	2	4
	1	2	4	3

На основе этой таблицы для каждого эксперта составляется матрица парных сравнений объектов. Эти матрицы представлены табл. 2.6-2.10:

Таблица 2.6
	1	0	1	1
	1	1	1	1
	0	0	1	0
	0	0	1	1

Таблица 2.7
	1	0	1	0
	1	1	1	0
	0	0	1	0
	1	1	1	1

Таблица 2.8
	1	1	1	1
	0	1	1	1
	0	0	1	1
	0	0	0	1

Таблица 2.9
	1	0	0	1
	1	1	1	1
	1	0	1	1
	0	0	0	1

Таблица 2.10
	1	1	1	1
	0	1	1	1
	0	0	1	0
	0	0	1	1

Таблица 2.11
	5	2	4	4
	3	5	5	4
	1	0	5	2
	1	1	3	5

В матрице, представленной табл. 2.11, дана сумма матриц (табл. 2.6-2.10), т. е. каждый ее элемент ij – это величина .

В табл. 2.12 представлена обобщённая матрица парных сравнений, полученная по правилу большинства по формуле (2.1): если , то в обобщённой матрице парных сравнений ставим =1, если , то проставляется =0.

Для построения обобщённого ранжирования вариантов выполним операцию транзитивного замыкания путём умножения полученной обобщённой матрицы парных сравнений, представленной в табл. 2.12, на себя. Выполняя это умножение с учетом правил суммирования и перемножения нулевых переменных: 1∙1=1; 1∙0=0∙1=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1; 0+0=0, получаем табл. 2.13.

Сравнение табл. 2.12 и 2.13 показывает, что они одинаковы, поэтому предыдущая матрица уже является транзитивным замыканием. Просматривая столбцы матрицы убеждаемся, что наименьшее количество единиц расположено во втором столбце, поэтому второй вариант получает первый ранг. Второй ранг получает первый вариант, третий ранг – четвёртый вариант и, наконец, последний, четвертый, ранг получает третий вариант. Следовательно, обобщённое ранжирование четырёх вариантов , полученное по правилу большинства голосов, имеет вид: