2. Доли проценты

2.1. Норма процента (НП) равна:

НП = • 100,

где Д — доход, Сс — величина ссуды.

НП = • 100 = 2%.

2.2. Величина ссуды (Сс) равна (см. ответ к задаче 2.1.):

Сс = • 100 = 100 = 2 • 10⁷ = 20 млн. руб.

2.3. Величина дохода (Д) равна (см. ответ к задаче 2.1.):

Д = = = 3 • 10⁴ = 30000 руб.

2.4. Банковская прибыль (БП) равна:

БП = • 10 – • 4 = 100 000 руб.

2.5. Д = • = 200 000 руб.

2.6. а) Положив деньги в банк, можно получить за год 80 тыс. руб.

б) На все привилегированные акции дивиденды составят

8 • 10% = 80%,

т. е. 640 тыс. руб.; одна привилегированная акция прине­сет в год

= 80 тыс. руб.

Можно купить

= 4

привилегированные акции и получить за год

4 • 80 = 320 тыс. руб.

На обыкновенные акции останется

800 – 640 = 160 тыс. руб.;

одна обыкновенная акция принесет в год

= 16 тыс. руб.

Можно купить

= 5

обыкновенных акций и получить за год

5 • 16 = 80 тыс. руб.

Итак, самое выгодное — купить привилегированные акции.

2.7. Суммарный капитал равен 150 млн. руб. Прибыль за капитал равна:

• 30 = 45 млн. руб.

Выплата за ссуду составит 5 млн. руб. Предпринимательский доход равен:

45 – 5 = 40 млн. руб.

2.8. а) На 50%; б) на 100%.

2.9. Обозначая цену товара до и после снижения через х₁ и х₂, получим следующее соотношение:

х₁ – х₂ = ,

из которого видно, что

х₁ = 100 руб.

2.10. Примем первоначальную цену товара и зарплату в 1 тыс. руб. Тогда новая цена товара будет 150 000 руб., а новая зарплата — 100 000. Реальная зарплата при этом уменьшилась на

• 100 = 33%.

2.11. 80% от 25% равно 20%.

2.12. На 400%.

2.13. На 80%.

2.14. В 1,5 раза.

2.15. В 2 раза.

2.16. Определим, какой процент от общего числа составляют отсутствующие акционеры:

• 100 = 16,7%.

Тогда процент, который составляли присутствующие акционеры, будет равен:

100% - 16,7% = 83,3%.

2.17. На все привилегированные акции дивиденд составит:

6 • 5% = 30% от 100 млн. руб., или 30 млн. руб.

На все обыкновенные акции для выплат дивидендов останется:

100 млн. руб. – 30 млн. руб. = 70 млн. руб.

Таким образом, дивиденд обыкновенной акции равен:

70 млн. руб. : 28 = 2,5 млн. руб.

Дивиденд по одной привилегированной акции равен 5% от 100 млн. руб., т.е. 5 млн. руб.

2.18. Предположим, рассматривается экономия энергетических ресурсов, эквивалентных 100 т топлива. Тогда в результате реализации первого предложения можно будет обойтись 65 т топлива (100 – 35), после реализации второго предложения – 32,5 т (65 – 50% от 65), после реализации третьего — 27,7 т (32,5 – 15% от 32) Таким образом, общая экономия составит

100 – 27,7 = 72,3%.

2.19. В 1 т строительной смеси при влажности 15% содержится 150 кг воды и 850 кг сухого вещества. После просушки количество воды уменьшилось на 80 кг и стало равно 70 кг. Следовательно, теперь влажность строительной смеси равна:

• 100 = 7,6%.

2.20. Вес жидкости в изделии до его просушивания составлял 6 кг. Обозначая потери жидкости при просушивании через х, можно записать условие задачи так:

• 100 = 1%,

откуда

х = 5,45 кг.

Следовательно, вес изделия после просушивания равен:

60 – 5,45 = 54,55 кг.

2.21. В 1 т готового продукта, по условию задачи, содержится 0,17 т жидкости и 0,83 т сухого вещества. С учетом этого обстоятельства и принимая за х вес испарившейся в процессе переработки жидкости, можно записать условие задачи так:

• 100 = 70%,

откуда

х 1,77 т.

Следовательно, для того чтобы получить 1 т готового продукта, нужно переработать сырья

1 + 1,77 = 2,77 т.

2.23. Раньше 5 деталей из 100 были бракованные, теперь — 1 деталь из 100. Следовательно, брак сократил­ся на

• 100 = 80%.

2.24. Примем старое количество единиц продукции, выпускаемых в единицу времени, за 1. При этом время, затрачиваемое на изготовление единицы продукции, равно 1. Новое количество единиц продукции стало 1,5. Значит, теперь время, затрачиваемое на изготовление едини­цы продукции, равно

= 0,67,

т. е. сократилось на 33%.

2.25. Первый экскаватор проработал на 4 ч меньше нормы и в результате недоработал 40% от объема задания. Значит, первый экскаватор способен выполнить 100% от объема задания за

4 ч • = 10 ч.

За 8 ч первый экскаватор выполнит 80% от объема задания. Это означает, что второй экскаватор за 8 ч выполнил

100 – 80 = 20%

от объема задания. 100% задания второй экскаватор выполнит за

8 ч • = 40 ч.

2.26. Принимая работу, выполненную первой бригадой за 1 ч за 1, можно записать, что обе бригады за 1 ч выполняют:

1 + 1,3 = 2,3 ед./ч.

За 10 ч обе бригады выполняют:

2,3 • 10 = 23 ед./ч.

Следовательно, вторая бригада смогла бы самостоятельно выполнить данную работу за

= 23 ч.

первая бригада — за

= 17,7 ч.

2.27. Принимая длину стороны строительного участка до увеличения за 1, получим его периметр, равный 4, а площадь — 1. С увеличением периметра на 20% его стороны также увеличатся на 20% и станут равны 1,2. Площадь при этом станет равна (1,2)² = 1,44, т.е. увеличится на 44%.

2.28. Принимая длину стороны строительного участка до увеличения за 1, получим площадь, равную 1. Площадь участка с увеличением на 40% длин сторон станет равна

1,4 • 1,4 = 1,96,

т.е. площадь увеличилась на 96%.

2.29. Принимая длину стороны прямоугольного строительного участка до увеличения за 1, получим его площадь, равную 1. С изменением длин сторон участка его площадь станет равна

1,3 • 0,7 = 0,91,

т. е. уменьшится на 9%.

2.30. Находим, какие доли дома строительные организации строят за год, и суммируем эти доли:

+ + + 1 = дома.

Исходя из того, что эта суммарная доля строится за 365 дней, рассчитываем (из пропорции), за сколько дней строится единица дома:

=175 дней.

2.31. Обозначим через х количество спирта, который отлили в первый раз, и количество смеси, отлитой во второй раз. Тогда после того, как отлили в первый раз, в емкости останется (100 - х) спирта, а после того, как долили воду, в каждом литре смеси содержится л спирта.

После того как второй раз отлили х л смеси, в емкости останется (100– х) л смеси, в которой содержится

(100 – х) • = л спирта.

Затем, после того как долили воду второй раз, в емкости будет 100 л смеси, из которых л спирта. Следовательно, процентное содержание спирта теперь равно:

• 100 = .

Известно, что это соответствует 49-процентному раствору спирта:

= 49%.

откуда х = 30 л.

2.32. Обозначим через х искомое количество компонента с 50% растворителя, а через у — с 20% растворителя. Тогда условие задачи можно записать в виде следующего уравнения:

0,50х + 0,20у = 0,30(х + у).

Из этого уравнения следует, что

у = 2х,

т. е. количество 50-процентного компонента в краске должно быть в два раза меньше, чем 20-процентного. Так, в 1 кг краске должно быть 333 г 50-процентного компонента и 667 — 20-процентного.

2.33. Обозначая первоначальное количество ресурсов в первом отделении через х, можно записать условие задачи следующим образом:

(х – 0,2х) • 2 = 160,

откуда

х = 100 млн. д. ед.

Во втором отделении количество ресурсов было равно: 160 – 100 = 60 млн. д.ед.

2.34. Обозначая общую стоимость акций через х, можно записать условие задачи следующим образом:

х – 0,4х – 0,2х = 120,

откуда

х = 300 млн. д. ед.,

стоимость акций «Альфа» — 0,4х = 120 млн. д. ед.,

акций «Бета» — 0,2х = 60 млн. д. ед.

2.35. По условию задачи, первое предприятие работает 1 с производительностью задания в неделю, а второе — задания в неделю. Общая производительность этих предприятии в неделю равна + = .

За полторы недели, следовательно, выполнено

• = задания.

Остается невыполненной

1 – = задания,

которую второе предприятие выполнит за одну неделю.

2.36. По условию задачи, производительность первой бригады равна объекта в месяц, а второй бригады — объекта в месяц. К середине второго месяца работы вторая бригада успела сделать

• 1 =

объема работы по созданию объекта. Не завершено, следовательно, еще

1 – =

объема работы. Общая производительность обеих бригад равна

+ =

объекта в месяц.

Значит, на завершение объема работы бригадам потребуется

: = 1 мес.

Таким образом, сооружение объекта займет

1 + 1 = 3 мес.

2.38. Принимая число присутствующих на собрании за х, можно написать:

0,2х + 10 = 0,3 (х – 10),

откуда х = 130 человек.

Всего в коллективе

130 + 0,2 • 130 = 156 человек.

2.39. 1) Производительность труда должна увеличиться в = 1,2 раза, т.е. на 20%.

2) Производительность труда должна увеличиться в = 1,08 раза, т.е. на 8%.

3) Производительность труда должна увеличиться в = 1,32 раза, т.е. на 32%.

2.40. План января был выполнен на

100 + 6 = 106%,

план февраля — на

106 + (6% от 106) = 106 + 6,36 = 12,36%,

план марта — на

112,36 + (6% от 112,36) = 112,36 + 6,74 = 119,1%.

За все три месяца план был выполнен на

106 + 112,36 + 119,1 = 337,46%,

что соответствует среднемесячному плану

337,46 : 3 = 112,49%.

Следовательно, среднемесячный план был перевыпол­нен на

112,49 – 100 = 12,49%.

2.41. Первое предприятие за 1 мес. выполняет = 14%. от заказа, второе предприятие за 1 мес. выполняет = 19% от заказа, а третье предприятие — 14 + 19 = 33% от заказа. Все три предприятия за 1 мес. выполняют

14 + 19 + 33 = 66%

от заказа.

Следовательно, весь заказ (100%) все три предприятия выполнят за

= 1,5 мес.

2.42. В первом квартале выполнено 25% от годового плана, во втором квартале — 25 • 1,05 = 26,25%, в третьем квартале — 26,25 • 1,15 = 30,19%, в четвертом квартале — 30,19 • 1,25 = 37,73%.

Всего за год предприятием выполнено 119,17% от го­дового плана.

1. Перевыполнение плана составляет:

119,17 – 100 = 19,17%.

2. Процентное выражение представляет собой

• 19,17 = 126 522 ед. продукции.

2.43. Соотношение 3:7:15 означает, что линейных руководителей должно быть , или 12%, функциональных руководителей — , или 28%, и мастеров — , или 60%.

Фактически же линейных руководителей оказалось

12% + (25% от 12%) = 15%,

функциональных руководителей —

28% + (25% от 28%) = 35%,

а мастеров —

60% - (25% от 60%) = 45%.

Общий процент нанятого персонала составляет

15 + 35 + 45 = 95%,

что соответствует принятым 95 работникам. Отсюда принятых линейных руководителей оказалось 15 человек, функциональных руководителей — 35 человек и мас­теров — 45 человек.

2.44. Обозначая через х количество калийного удобрения в 100 кг смеси, а через у — количество калийного удобрения, которое нужно добавить к ней, можно записать условие задачи следующим образом:

х = 0,4 • 100 = 40 кг,

= 0,6.

Решая систему уравнений, получим:

у = 50 кг.

2.45. Вначале рассчитаем, какой процент и вес сухого остатка в товаре.

При первом замере жидкости сухой остаток составил 1% и весил 1 т.

При втором замере, соответственно 4% и 1 т (вес сухого остатка не меняется).

Интересующий нас вес всего товара (100%) при втором замере (х) находим из очевидной пропорции:

4% – 1 т,

100% - х,

откуда х = 25 т.

За этот товар следует заплатить

300 тыс. руб. • 25 т = 7,5 млн. руб.

2.46. 1. После первого добавления низкосортного бензина в емкости оставалось 36 — 12 = 24 т высокосортного бензина. При этом в 1 л смеси высокосортный бензин составлял

= .

2. При втором добавлении в 9 т израсходованной смеси содержалось

9 • = 6 т

высокосортного бензина. Следовательно, в оставшемся в емкости бензине высокосортного было

24 – 6 = 18 т.

А в смеси, соответственно,

= т.

3. После третьего добавления в 8 т израсходованной смеси содержалось

8 • = 4 т

высокосортного бензина. Следовательно, в оставшемся в емкости бензине высокосортного было

18 – 4 = 14 т.

14 т из 36 — это 39% высокосортного бензина и 61% (100 – 39) низкосортного бензина.

2.47. Обозначая через х потери воды при просушке в килограммах, можно записать условие задачи следующим образом:

0,45 = ,

откуда следует:

45 – 0,45х = 90 - х;

х = 82 кг, или 82%.

2.48. В результате первого снижения цена товара стала равна:

1000 – (20% от 1000) = 800 дед.

В результате второго снижения:

800 – (20% от 800) = 640 д. ед.

В результате третьего снижения:

640 – (20% от 640) = 448 д. ед.