2. Функция выигрыша игры в смешанных стратегиях

При использовании смешанных стратегий величина выигрыша в отдельной партии является случайной величиной. Как уже говорилось, цель игрока состоит в максимизации своего среднего выигрыша в партии. По закону больших чисел при многократном повторении игры средний выигрыш близок к математическому ожиданию выигрыша.

Отсутствие обмена информацией между игроками делает их случайные выборы своих чистых стратегий независимыми. Поэтому, если игрок 1 использует свою чистую стратегию А_i с вероятностью х_i, а игрок 2 — свою чистую стратегию В_j с вероятностью y_j, то математическое ожидание выигрыша при выборе игроками этих стратегий равно а_ijх_iy_j.

В том случае, когда игрок 1 использует смешанную стратегию х = (х₁,…, х_m), а игрок 2 — смешанную стратегию у = (у₁,…, у_n), выигрыш Н(х, y) игрока 1 определяется по формуле вычисления математического ожидания суммы независимых событий, т.е.

. (3.3)

Функция Н(х, y), задаваемая формулой (3.3), называется функцией выигрыша игры в смешанных стратегиях. Ее значение в ситуации (х, y) равно математическому ожиданию выигрыша (ожидаемому выигрышу) игрока 1.

Итак игра, называемая игрой в смешанных стратегиях, задается множествами смешанных стратегий игроков Х, Y и функцией выигрыша Н(х, y). Она является расширением исходной матричной игры, задаваемой множествами чистых стратегий игроков , и платежной матрицей А = (a_ij).

Рассмотрим, как выглядит функция выигрыша в ситуациях, когда хотя бы один из игроков выбирает свою чистую стратегию.

1) Игрок 1 выбирает чистую стратегию А_i, а игрок 2 — смешанную стратегию у = (у₁,…, у_n). Так как чистая стратегия А_i игрока 1 задается вектором х = (0,…, 1, 0,…0), у которого i-я компонента равна 1, а остальные компоненты нулевые, то значение функции выигрыша .

2) Игрок 1 выбирает смешанную стратегию х = (х₁,…, х_m), а игрок 2 — чистую стратегию В_j. Так как чистая стратегия В_j игрока 2 задается вектором х = (0,…, 1, 0,…0), у которого j-я компонента равна 1, а остальные компоненты нулевые, то значение функции выигрыша .

3) Игрок 1 выбирает чистую стратегию А_i, а игрок 2 — чистую стратегию В_j. В этом случае значение функции выигрыша , т.е. совпадает со значением функции выигрыша в исходной игре.

Пример 3.1. Пусть каждый из игроков имеет по две чистых стратегии и матрица выигрыша А выглядит так:

	В1	В2
A1	2	3	х1
A2	4	2	х2
	y1	y2

Тогда функция выигрыша игры в смешанных стратегиях записывается так:

Н(х,у) = 2х₁у₁ + 3 х₁у₂ + 4х₂у₁ + 2х₂у₁₂.

Подсчитаем значения функции выигрыша при выборе игроками различных смешанных стратегий.

1) х = (1/2, 1/2); у = (1/3, 2/3). Игрок 1 выбирает свои чистые стратегии A₁ и А₂ с одинаковыми вероятностями (1/2); а игрок 2 выбирает свою чистую стратегию В₁ с вероятностью 1/3 и чистую стратегию В₂ — с вероятностью 2/3, т.е. в два раза чаще.

Н(х,у) = 2·(1/2) (1/3) + 3·(1/2) (2/3) + 4·(1/2) (1/3) + 2 (1/2) (2/3) = 2.67.

2) х = (1, 0); у = (1/2, 1/2). Игрок 1 выбирает только стратегию A₁ (с вероятностью, равной 1) , а игрок 2 выбирает свои чистые стратегии с одинаковыми вероятностями.

Н(х,у) = 2·1·(1/2) + 3·1·(1/2) +4·0·(1/2) + 2·0·(1/2) = 2.5.

3) х = (1, 0); у = (0, 1). Игрок 1 выбирает только стратегию A₁, а игрок 2 — только стратегию В₂, т.е. фактически оба игрока используют не смешанные, а чистые стратегии.

Н(х,у) = 2·1·0 + 3·1·1 + 4·0·0 + 3·0·0 = 3 = а₁₂.