4. Седловая точка матричной игры

Во всех рассмотренных примерах выполнено неравенство: α ≤ β. Легко убедиться, что это неравенство выполняется в любой матричной игре, т.е. нижняя цена матричной игры всегда не превосходит ее верхней цены.

Рассмотрим случай, когда максимин α равен минимаксу β. Обозначим их общее значение ν, т.е.

ν = .

Число ν называется ценой игры. В этом случае максиминная стратегия игрока 1 и минимаксная стратегия игрока 2 образуют так называемую седловую точку.

Пусть А — платежная матрица размерности mxn. Элемент называется седловой точкой матрицы А, если для всех выполнены следующие неравенства:

, (2.3)

то есть элемент одновременно является наименьшим в своей строке и наибольшим в своем столбце . Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Матрица А = (а_ij) имеет седловую точку тогда и только тогда, когда нижняя цена игры равна ее верхней цене, т.е. α = β.

Игра, в которой максимин α равен минимаксу β, называется игрой с седловой точкой. Если матрица имеет несколько седловых точек, то все они имеют одинаковые значения.

Нахождение седловой точки платежной матрицы

Чтобы проверить, имеет матрица седловую точку или нет, нужно найти в каждой строке минимум ее элементов и определить значение максимального из них – максимин. Затем следует найти в каждом столбце максимум его элементов и определить значение минимального из них – минимакс. Если максимин равен минимаксу, то матрица имеет, по крайней мере, одну седловую точку. Любая седловая точка находится на пересечении строки, минимум в которой равен максимину, и столбца, максимум в котором равен минимаксу.

В примере 2.1 платежная матрица имеет одну седловую точку: элемент а₂₂ (см. таблицу 2.1). В примере 2.2 платежная матрица имеет две седловые точки: это элементы а₂₂ и а₃₂, равные 26. Отметим, что хотя элемент а₃₄ также равен 26, он не является седловой точкой, так как максимум в третьем столбце равен 27, т.е. больше чем а₃₄ (см. таблицу 2.2). В примере 2.3 максимин не равен минимаксу, поэтому платежная матрица не имеет седловой точки (см. таблицу 2.3).

5. Оптимальные стратегии, их устойчивость

Пусть платежная матрица А имеет седловую точку . Тогда стратегия игрока 1 является его чистой максиминной стратегией, а стратегия игрока 2 — его чистой минимаксной стратегией.

Эти стратегии являются оптимальными стратегиями для игроков. Они обладают важным свойством устойчивости: ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии, так как это может привести лишь к ухудшению его положения.

Действительно, предположим, что игрок 1 выбрал другую чистую стратегию А_i — i-ю строку матрицы А, а игрок 2 придерживается прежней стратегии . Тогда значение выигрыша игрока 1 равно . Так как — седловая точка, то . Следовательно, выбрав другую стратегию, игрок 1 не сможет улучшить свой результат. Он может только потерять часть выигрыша, который ему гарантирован, если он придерживается своей оптимальной стратегии .

Аналогичными рассуждениями легко показать, что и игроку 2 нет смысла изменять свою стратегию, поскольку, если его противник будет придерживаться своей оптимальной стратегии , то в этом случае он может лишь ухудшить свой результат. В том случае, когда игрок 1 (игрок 2) имеет несколько чистых максиминных (минимаксных) стратегий, он может выбирать любую из них без изменения величины выигрыша.

Таким образом, если игра имеет седловую точку, то оптимальной стратегией игрока 1 является его чистая максиминная стратегия, а оптимальной стратегией игрока 2 — его чистая минимаксная стратегия. Выбрав эту стратегию, игрок 1 (игрок 2) обеспечивает себе максимальный выигрыш (минимальный проигрыш) независимо от действий противника, равный значению игры.

Любая пара оптимальных стратегий игроков образует решение игры, которое также называют ситуацией равновесия или равновесием. Рассмотрим, какое поведение игроков в наших примерах считает оптимальным теория игр.

В примере 2.1 существует единственное решение, которое образует пара оптимальных стратегий (А₂, В₂). Следовательно, каждая фирма должна продавать на рынке свой второй вид продукции. В этом случае первая фирма получит прибыль, равную 10 млн. руб., а вторая фирма понесет убытки на такую же сумму. Отклонение от этих стратегий ни одной из фирм невыгодно, так как если ее конкурент будет придерживаться своей оптимальной стратегии, то она лишь ухудшит свой результат

В примере 2.2 есть два решения. Их образуют пары оптимальных стратегий (А₂, В₃) и (А₃, В₃). Следовательно, фирма должна выпускать второй или третий вариант модели. В этом случае ее гарантированная прибыль составит 26 млн. руб. независимо от уровня покупательского спроса. Если же фирма выберет первый вариант модели, то при некоторых уровнях спроса она может получить меньшую прибыль. Поэтому выбор этого варианта связан с определенным риском.

В примере 2.3 (игра в орлянку) решения в чистых стратегиях нет, поэтому пока никаких рекомендаций дать нельзя.

Итак, если игра имеет седловую точку, то оптимальной стратегией игрока 1 будет любая чистая максиминная стратегия, а оптимальной стратегией игрока 2 — любая чистая минимаксная стратегия. Выбрав эту стратегию, игрок 1 (игрок 2) гарантирует себе максимальный выигрыш (минимальный проигрыш), равный цене игры, независимо от действий своего противника. Оптимальные стратегии игроков образуют ситуацию устойчивого равновесия: ни одному из них невыгодно отклоняться от своей стратегии.

Замечание. Все вышесказанное справедливо как для игры, состоящей из одной партии, так и для игры, состоящей из нескольких партий. В последнем случае игрок 1 (игрок 2), выбирая в каждой партии свою оптимальную стратегию, гарантирует себе независимо от поведения противника максимальный средний выигрыш (минимальный средний проигрыш), равный цене игры.

Если игра не имеет седловой точки (α < β), то максиминная и минимаксная стратегии игроков уже не обладают свойством устойчивого равновесия. Каждый из игроков может попытаться изменить ситуацию в свою пользу и добиться выигрыша γ, где α < γ < β. Правда, в этом случае он рискует, так как ни одна из его чистых стратегий не способна обеспечить ему этот результат.

Чтобы определить оптимальные стратегии игроков в ситуации, когда игра не имеет седловой точки, нужно ввести в рассмотрение так называемые смешанные стратегии, частным случаем которых являются чистые стратегии. Такое расширение множества стратегий позволяет найти решение любой матричной игры.