А. Основные понятия, термины и определения современной математики, используемые в интеллектуальных информационных технологиях систем

Множество, кортеж, соответствие, функция, отношение:

Множество S – есть любое собрание определённых и различных между собой объектов нашей интуиции (или интеллекта) мнимое, как единое целое. Эти элементы или объекты называются элементами или членами множества S:.

Теория множеств создана Георгом Кантором (1845 – 1918). Проводившиеся Кантором исследования, которые относились к тригонометрическим рядам и числовым последовательностям, привели его к задаче вычисления тех средств, которые необходимы для сравнения бесконечных множеств чисел по величине.

Для решения проблемы Г. Кантор [1] ввёл понятие мощности множества. Считают, по определению, что два множества имеют одинаковую мощность, если члены любого из них можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих членов, поскольку между членами двух конечных множеств можно установить такое парное соответствие в том случае, когда они имеют одинаковое число членов.

Мощность можно отождествить с конечным числом. Таким образом, понятие мощности бесконечного множества представляет собой обобщение обычного понятия количественного числа. Кантор построил теорию таких обобщённых (трансфинитных) чисел, включающих в себя их похожесть.

Кортеж– упорядоченный набор конечной последовательности, представляющий из себя вектор, то есть составной объект, имеющий определённое число компонентов или составляющих. Составные векторы стоят на соответствующих местах и обозначаются: <a₁, a₂, …, a_n>. Кортеж с несовпадающими элементами представляет собой размещение.

Соответствие – предполагает наличие двух множеств: области отправления и области прибытия. Областью отправления могут быть множества весов, людей, цветов, существительных, слов языка. Областью прибытия будет множество весов, ростов, цветов, людей, окончаний.

Функция - это:

1. Зависимость;

2. Переменная величина, значения которой изменяются в зависимости от условий значений другой величины [2];

3. Закон (правило), по которому значения независимых переменных отвечает (соответствует) значениям рассмотренной зависимой переменной [3];

4. Если поставим в соответствие множеству X, состоящему из элементов x, множество Y, состоящее из элементов y, то можно сказать, что имеется отображение множества X на множестве Y, то есть функция f, аргументы которой находятся во множестве X, а значение - во множестве Y [4].

Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу , поставлено в соответствие число , то есть,y = f(x). X – область определения данной функции, Y – область значений.

Н.Н. Лузин [5] трактует, что функция – это соответствие, в силу которого, каждому элементу , отвечает единственный элемент.

Никола Бурбаки [6] утверждает: функция – это, когда каждому элементу области отправления соответствует элемент области прибытия.

Пример:

1. y = x², ,

2. y = , и.

Отношение – это пара, состоящая из двух множеств, причём элементы первого из множеств служат парой элементам второго множества.

Композиция отношений (связь). Пусть даны множества X, Y, Z и два отношения: , .

Композиция отношений A и B есть отношение C из всех тех пар для которых,.

Сечение отношения C по X совпадает с сечением отношения B, включает ,,C = AB .

Такая запись имеет следующие преимущества. Композиция отношений обладает ассоциативным законом, то есть D(BA) = DB(A) = DBA, но не коммутативна, то есть . Так же (BA)^-1 = A^-1*B^-1.

Б. Элементы теории множеств, операции над множествами, кванторы

В математике широко используется понятие «множество». Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» равнозначащими выражениями: совокупность, собрание и т.п.

Множество состоит из элементов

Примеры:

N – множество натуральных чисел.

Z – множество целых чисел.

R – множество всех точек числовой оси (вещественная числовая ось).

- некоторое полное множество

Подмножество – часть элементов некоторого множества.

В математике введены символы для обозначения понятий, используемых при рассуждениях.

- объединение множеств

- множество элементов, входящих либо в А, либо в В.

А

В

Пример:

;

Иногда вместо пишут + : А+В

- пересечение множеств.

- множество элементов, входящих одновременно и в А, и в В.

А

В

Например, для рассмотренных нами множеств А и В

Иногда, вместо пишут : А В

\ - разность множеств.

- множество элементо в А, не входящих в В.

В

А

Например, для рассмотренных нами множеств А и В

Иногда вместо пишут - : А-В

- симметричная разность

По определению .

В

А

Для рассмотренных нами множеств А и В

- _{дополнение к множеству}

_U

А

- знак вхождения одного множества в другое.

Пример:

- подмножество множества .

- подмножество числовой оси.

- знак включения одним множеством другого.

включает в себя множество .

числовая ось включает в себя множество целых чисел.

- знак принадлежности элемента множеству.

, ,

- отрицание принадлежности элемента множеству.

Примеры:

- число -7 не принадлежит множеству натуральных чисел.

- число -1.3 не принадлежит множеству целых чисел.

- число 4.1 не является целым числом.

Ø – пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента.

Пример:

- множество действительных решений этого квадратного уравнения – пусто.

Кванторы

- для всякого

- найдется

- следует

~ (тильда) – эквивалентно

- тождественно

Множества на числовой оси

- открытый интервал

~

- граничные точки интервала - полуоткрытый слева интервал

Аналогично определяется полуоткрытый справа интервал

- замкнутый интервал

]

Эпсилон окрестность точки “а”

~

Элементы математической логики

p, q –Булевы переменные (принимающие два значения):

Мы будем рассматривать функции от Булевых переменных, причем эти функции так же будут принимать два значения 0;1.

Некоторые виды функций:

p	¬p
0	1
1	0

–отрицание

- логическое следствие (pq)

- эквивалентность (p=q), либо (p↔q)

- конъюнкция pq (.)

- дизъюнкция pq (+)

Таблица истинности

p	q	pq	pq	pq	pq
0	0	0	0	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	1

Используя исходные таблицы истинности, мы сможем строить таблицы истинности для более сложных выражений.

Часть 1.

Глава 1. Математические основы формализации и методов описания

нечетких технологий информационных систем

1. Представление композиции отношений матрицами и графами

Атрибут – это свойство. При описании каждого из объектов мы должны будем ограничиваться некоторым набором свойств, адекватных решаемой задаче. Изучением этих свойств занимается теория приближенных множеств.

Понятие: – абстрактное П., т.е. понятие, в котором отображен не данный объект (предмет, явление) как таковой, а какой-либо признак объекта, мысленно отделенный от самого объекта.

Пространство решений U - это свойство, которое входит в сферу наших интересов. Каждый элемент этого пространства назовём x_j. Каждый объект пространства U будет обладать свойствами. Если этот объект физический, то его свойства можно обозначить каким-то способом, в результате мы можем получить бесконечное множество свойств. Будем ограничиваться лишь их некоторым подмножеством. Обозначим это подмножество пространства U символом Q. Каждое свойство, принадлежащее этому множеству, обозначим символом q, с соответствующими индексами q_i. Один объект будет отличаться от другого, либо считаться подобным третьему объекту этих свойств. Обозначим символом Vq множество значений, которые может принимать свойство q. Обозначим свойство q объекта x вектором V^xq, а вектор всех свойств объекта - как V:

V= [V^xq₁, V^xq₂, …,V^xq_n]. (1.1)

Всё это можно будет представить в виде информационной системы.

Определение 1: Информационной системой называется упорядоченная четверка SI = <U, Q, V, f> (SI – кортеж), где U – множество объектов, Q – множество свойств (атрибутов), V – V_q =U, V_q– множество всех значений и свойств , аf: U * Q → U, называется информационной функцией.

Можно записать, что V^xq = f(x, q), очевидно, f(x, q)V_q.

Равнозначно V^xq = f(q), при которой информационная функция будет интерпретироваться как семейство функций. Тогда f x.

Пример 1: Магазин по продаже автомобилей. В данный момент в продаже находится 10 машин. Пространство решений состоит из 10 объектов, т.е. U = [x₁, x₂, …, x₁₀]. Владелец автомобилей отмечает в своих документах 4 свойства каждого автомобиля, которые являются наиболее часто встречаемыми при продаже. Это количество дверей (q₁), мощность двигателя (q₂), цвет (q₃) и марка (q₄). Таким образом, множество свойств можно представить в виде Q = {q₁, q₂, q₃, q₄}. Необходимо представить в виде таблицы ИС информацию к данному примеру.

Решение:

Объект U	Кол-во дверей q1	Мощность двигателя q2	Цвет q3	Марка q4
X1	2	60	Синий	Опель
X2	2	100	Черный	Ниссан
X3	2	200	Красный	Феррари
X4	4	602	Серый	Бугатти
X5	3	230	Зеленый	Тойота
X6	1	128	Белый	Хонда
X7	4	228	Оранжевый	Жигули
X8	2	555	Голубой	Мерседес
X9	3	777	Золотой	Шкода
X10	1	100	Розовый	Рено

В результате, множество значений каждого свойства будет Vq₁ = {2,3,4, …}, Vq₂ = {60, 100, 200, …, 100}, Vq₃ = {черный, синий, белый, …}, Vq₄ = {Феррари, Ниссан, Опель, …}.

Таблицей решений называется упорядоченная пятёрка: DT = <U, C, D, V, f>. Здесь элементы множеств C – условные свойства (атрибуты), элементы множества D – являются регламентирующими свойствами, информационная функция f – характеризует множество правил, содержащихся в таблице решений, в которой каждая функция f_e: (находится) определяет e – тое решающее правило в таблице. Таблицу решений будем считать способом представления информации, альтернативным по отношению к правилам:

- правило «модус – поненс» [7].