- •Часть 1.
- •Глава 1. Математические основы формализации и методов описания
- •Формализация объекта и парадигмы
- •1.3. Множества и перечень базовых операций над множествами
- •Перечень базовых операций над множествами
- •Области определения функций
- •Обратная функция
- •Теорема
- •Мера и нечеткая мера
- •Задача построения нечетких мер
- •Нечеткие множества: определение и формы записи в операциях и
- •1.7.Функции доверия и правило Демпстера а.Р.,[23]
- •1.8. Нормировка функций в теории нечётких множеств
- •1.9. Нечёткие отношения: прямая и обратная задачи
- •Глава 2. Методы представления знаний с использованием
- •Приближенных и нечетких множеств
Формализация объекта и парадигмы
Любая формализация объекта предусматривает 2 этапа: семантика (переход от физического объекта в его описание или создание БЗ) и прагматика (использование описания объекта или обработка БЗ). В таком представлении аналитики шли традиционным путём: система уравнений в семантике и различные методы их решения в прагматике до тех пор, пока рост числа переменных в семантике сделал невозможным выполнение вычислительных процедур в прагматике за определенное время с заданной точностью. Наступило время «проклятия размерности» (Р. Беллман), [8].
Покажем на следующем примере противоречие неопределенностей в прагматике и семантике. Пусть имеется объект, состоящий из заданного числа элементов с известными связями между ними. Также элементы определены набором показателей, параметров, характеристик и их значений, полученных по различным шкалам: отношений, интервалов, порядковой и номинальной. В результате, имеем структуру объекта со следующими ограничениями:
конечность числа элементов и связей между ними;
конечность набора показателей, параметров, характеристик;
ошибки при получении значений показателей, параметров, характеристик.
Эти ограничения, в процессе создания семантики, суммируются в некоторую ошибку δ, которая служит количественной характеристикой неопределенности. Разработка прагматики и ее компьютерная реализация имеют следующие ограничения:
дискретизация показателей, параметров, характеристик;
конечность итераций в процедурах;
задана ошибка в алгоритмах.
Эти ограничения в процессе создания прагматики суммируются в некоторую ошибку δпраг, которая служит количественной характеристикой неопределенности. Учет нескольких ограничений в неопределенностях семантики δсем и прагматики δпраг соответствует самому общему случаю формализации объекта [9-11].
Рассмотрим простейший случай и выполним геометрическую интерпретацию уравнений:
Семантика |
Прагматика |
δсем зависит от числа параметров n |
δпраг зависит от заданной ошибки алгоритма δалг |
δсем(n)
n |
δпраг
δалг |
Рис.1.1. Количественная характеристика неопределенности семантики и прагматики, как формализации объекта.
Рассмотрим теперь зависимость времени обработки в прагматике:
t – обработки от числа параметров в семантике n при вариации ошибки алгоритма в прагматике, δ1 >= δалг>= δ2.
δалг
Рис. 1.2. Зависимость времени обработки в прагматике от числа параметров в семантике при вариации ошибки алгоритма в прагматике.
На графике (рис. 1.2) видно, что при постоянном n уменьшить t - обработки можно только за счёт увеличения δалг, а при постоянном t – времени обработки увеличение n требует увеличения (усложнения) δалг.
Установим типичное ограничение на t - обработки, т.е. не более времени цикла обработки данных tцикла: tобр<= tцикла. Тогда для предельного случая
tобр= tцикла = const. Объединив функции δсем (n), δпраг(δалг), tобр по неявным переменным n и δалг, получим зависимости δсем и δпраг.
δсем (δпрагм)
Рис.1.3. Зависимость уменьшения неопределенности в семантике от роста неопределенности в прагматике.
Таким образом, уменьшение неопределенности в семантике приведет к росту неопределенности в прагматике и наоборот (рис. 1.3).
Лотфи Заде обратил внимание на это противоречие и сформулировал [12-17] следующие положения в своей теории:
В семантике для описания объекта необходимо использовать характеристику- неопределенность;
Градациями неопределенности могут служить общеупотребительные понятия, такие как «мало», «средне», «много»;
В каждой градации необходимо задать количественные значения.
Вводя в характеристику неопределенность, Л. Заде подчеркнул принципиально субъективную природу этой характеристики, считая, что, на основе субъективной семантики, можно разработать объективную прагматику, путем создания и развития математического аппарата теории нечетких множеств (ТНМ).