- •Зм 2. Електричні кола змінного струму 54
- •Зм 3. Трифазні електричні системи 98
- •Зм 4. Перехідні процеси в електричних колах 121
- •Зм 5. Магнітні кола 136
- •Зм 6. Трансформатори 153
- •Зм 7. Електричні машини 177
- •Додаток 236
- •Список рекомендованої літератури 239 Передмова
- •Електротехніка Вступ
- •Зм 1. Електричні кола постійного струму
- •1.1. Елементи і режими роботи електричних кіл.
- •1.1.1. Закон Ома для ділянки кола.
- •1 .1.2. Напруга на клемах джерела.
- •1.1.3. Енергетичні співвідношення. Закон Джоуля–Ленца.
- •1.1.4. Режими роботи електричних кіл.
- •1.1.5. Точки характерних режимів на зовнішній характеристиці джерела.
- •1.1.6. Способи з’єднання споживачів
- •1.1.7. З’єднання гальванічних елементів живлення.
- •1.1.7.1. Послідовне з’єднання гальванічних елементів.
- •1 .1.7.2. Паралельне з’єднання гальванічних елементів.
- •1.1.7.3. Змішане з’єднання гальванічних елементів.
- •1.2. Розрахунок електричних кіл постійного струму.
- •1.2.1. Розрахунок простих кіл електричного струму.
- •1.2.2. Перетворення трикутника опорів в еквівалентну зірку.
- •1.2.3. Закони Кірхгофа.
- •1.2.4. Розрахунок складних кіл постійного струму.
- •1.2.4.1. Безпосереднє використання законів Кірхгофа для розрахунку складних кіл.
- •1.2.4.2. Метод контурних струмів.
- •1.2.4.3. Метод вузлових напруг.
- •1.2.4.4. Метод еквівалентного генератора.
- •1.2.4.5. Метод суперпозиції.
- •1.3. Нелінійні опори в колах постійного струму.
- •1.3.1. Коло з двома послідовними нелінійними опорами.
- •1.3.2. Коло з двома паралельними нелінійними опорами.
- •1.3.3. Змішане з’єднання нелінійних опорів.
- •1.3.4. Приклад розрахунку схеми стабілізації струму.
- •Питання для самоперевірки.
- •Зм 2. Електричні кола змінного струму
- •2.1. Основні поняття.
- •2.2. Синусоїдальні змінні струми.
- •2.2.1. Діюче (ефективне, середньоквадратичне) значення.
- •2.2.2. Середнє значення змінного струму.
- •2.2.3. Потужність синусоїдального змінного струму.
- •2.2.4. Зображення синусоїдальних величин векторами, що обертаються.
- •2.2.4.1. Вектори, що обертаються.
- •2.2.4.2. Додавання синусоїдальних величин.
- •2.2.4.3. Векторні діаграми.
- •2.3. Елементи кіл змінного струму
- •2 .3.1. Активний опір на змінному струмі.
- •2.3.2. Індуктивність на змінному струмі.
- •2.3.3. Конденсатор на змінному струмі.
- •2.3.4. Послідовне з’єднання елементів r, l, c на синусоїдальному змінному струмі.
- •2 .3.5. Паралельне з’єднання елементів r, l, c на синусоїдальному змінному струмі.
- •2.3.6. Еквівалентний перехід від послідовної схеми до паралельної.
- •2.3.7. Змішане з’єднання елементів r, l, c на синусоїдальному змінному струмі.
- •2.4. Символічний метод розрахунку кіл синусоїдального струму.
- •2.4.1. Комплексні числа. Форми представлення та основні операції.
- •2.4.2. Уявлення параметрів електричного змінного струму через комплексні числа
- •2.4.3. Активна, реактивна і повна потужність.
- •2.4.4. Розрахунок складних кіл змінного струму.
- •2.4.5. Значення cos .
- •2.4.6. Фазоперетворювач.
- •2.5. Резонансні явища в електричних колах змінного струму.
- •2.5.1. Резонанс в послідовному колі.
- •2 .5.2. Резонанс при паралельному з’єднанні елементів.
- •2.5.3. Резонанс при змішаному з’єднанні елементів
- •Питання для самоперевірки.
- •Зм 3. Трифазні електричні системи Вступ
- •3 .1. Устрій генератора трифазного струму
- •3.2. З’єднання джерела і навантажень
- •3.2.1. Незв’язана система трифазних струмів
- •3.2.2. З’єднання «зіркою» в трифазних колах.
- •3 .2.2.1. Чотирипровідна система.
- •3 .2.2.2. Трипровідна система.
- •3.2.2.3. Потужність трифазного кола при з’єднанні «зіркою».
- •3.2.3. Розрахунок трифазного кола при з’єднанні зіркою.
- •3.2.3.1. Трипровідна система з симетричним навантаженням.
- •3.2.3.2. Чотирипровідна система при несиметричному навантаженні.
- •3.2.4. Методика розрахунку з використанням комплексних чисел.
- •З’єднання «трикутником» в трифазних колах.
- •3.2.5.1. З’єднання обмоток генератора за схемою «трикутник».
- •3.2.5.2. З’єднання споживачів за схемою «трикутник».
- •3.2.5.3. Фазні і лінійні струми при з’єднанні «трикутником».
- •3.2.5.4. Потужність трифазного кола при з’єднанні навантажень «трикутником».
- •3.2.6. Комбінації з’єднань джерела і споживачів у трифазних системах.
- •3.2.6.1. З’єднання «зірка – зірка»
- •3.2.6.2. З’єднання «зірка – трикутник»
- •3.2.6.3. З’єднання «трикутник – трикутник»
- •3.2.6.4. З’єднання «трикутник – зірка»
- •3.3. Заземлення в мережах трифазного струму.
- •Питання для самоперевірки.
- •Зм 4. Перехідні процеси в електричних колах Вступ
- •4.1. Закони комутації
- •4.2. Загальні принципи аналізу перехідних процесів
- •4.3. Комутація напруги в rC-колі.
- •4.4. Комутація напруги в rL-колі.
- •4.5. Операторний метод розрахунку перехідних процесів.
- •4 .6. Застосування операторного методу для розрахунку та аналізу rLc-кіл.
- •Питання для самоперевірки.
- •Зм 5. Магнітні кола
- •5.1. Магнетизм, магніти, магнітні полюси.
- •5.2. Магнітні кола.
- •5.3. Закон повного струму.
- •5.4. Закон Ома для магнітного кола.
- •5.5. Властивості феромагнітних матеріалів.
- •5.6. Розрахунок нерозгалуженого магнітного кола.
- •5.7. Розрахунок розгалужених магнітних кіл.
- •Питання для самоперевірки.
- •Зм 6. Трансформатори Вступ
- •6.1. Устрій однофазного трансформатора напруги.
- •6.2. Режими роботи трансформатора
- •6.2.1. Холостий хід трансформатора
- •6.2.2. Навантажений режим трансформатора.
- •6.2.3. Рівняння намагнічуючих сил трансформатора.
- •6.2.4. Схеми заміщення.
- •6 .2.5. Векторна діаграма навантаженого трансформатора.
- •6.2.6. Приклад використання схеми заміщення для спрощення розрахунків
- •6.2.7. Зміна вторинної напруги трансформатора
- •6.3. Основні практичні розрахункові співвідношення для однофазного трансформатора малої потужності.
- •6.4. Трифазні трансформатори
- •6.4.1. Групи з’єднання обмоток трифазного трансформатора.
- •6.4.2. Номінальні параметри трансформатора
- •6.4.3. Дослід короткого замикання
- •6.4.4. Дослід холостого ходу
- •6.4.5. Коефіцієнт корисної дії (к.К.Д.) трансформатора
- •6.5. Автотрансформатори
- •Питання для самоперевірки.
- •Зм 7. Електричні машини
- •7.1. Асинхронні електричні машини.
- •7 .1.1. Принцип дії асинхронної машини
- •7.1.2. Збудження обертового магнітного поля.
- •7.1.3. Устрій асинхронної машини.
- •7.1.4. Робочі процеси в асинхронній машині.
- •7.1.5. Баланс активних потужностей асинхронного двигуна.
- •7.1.6. Режими роботи асинхронних машин.
- •7.1.7. Регулювання частоти обертання валу асинхронного двигуна.
- •7.1.8. Асинхронний лінійний двигун (лад).
- •7.1.9. Однофазний асинхронний двигун.
- •7.2. Синхронні електричні машини.
- •7.2.1. Принцип дії синхронних машин.
- •7.2.2. Устрій і принцип дії синхронних генераторів.
- •7.2.2.1. Основні частини синхронної машини.
- •7.2.2.2. Отримання синусоїдальної ерс.
- •7.2.2.3. Багатополюсні генератори.
- •7.2.3. Робочий процес синхронного генератора
- •7.2.3.1. Холостий хід.
- •7.2.3.2. Навантажений режим.
- •7.2.4. Векторна діаграма навантаженого синхронного генератора
- •7.2.5. Зовнішня і регулювальна характеристики.
- •7.2.6. Паралельна робота синхронного генератора із мережею.
- •7.2.6.1. Підключення синхронного генератора до мережі.
- •7.2.6.2. Робота синхронного генератора після включення в мережу.
- •7.2.6.3. Регулювання активної потужності синхронного генератора.
- •7.2.6.4. Обертовий момент на валу генератора.
- •7.2.7. Синхронні двигуни
- •7.2.8. Принцип роботи синхронного двигуна.
- •7.3. Машини постійного струму.
- •7.3.1. Устрій машини постійного струму
- •7.3.2. Магнітна система.
- •7.3.3. Принцип дії генератора постійного струму.
- •7.3.4. Робочий процес в генераторі постійного струму.
- •7.3.5. Реакція якоря.
- •7.3.6. Комутація.
- •7.3.7. Зовнішня характеристика.
- •7.3.8. Виникнення електромагнітного обертового моменту.
- •7.3.9. Двигуни постійного струму.
- •Питання для самоперевірки.
- •Додаток
- •Префікси для кратних одиниць
- •Список рекомендованої літератури
2.4.1. Комплексні числа. Форми представлення та основні операції.
В алгебраїчній формі комплексне число с є сума дійсного числа a і уявного числа jb, тобто С = a + jb. Уявне число jb є добуток уявної одиниці і коефіцієнта при ній b.
Д ля зображення комплексного числа с в графічній формі в прямокутній системі координат по горизонтальній осі відкладаються дійсна частина комплексного числа а, а по вертикальній осі – уявна частина jb. Комплексне число на такій комплексній площині зображується (рис. 2.15):
точкою С з координатами (a; jb);
вектором ОС, що починається в початку координат О, а закінчується в точці С з координатами (a; jb).
− Щоб записати комплексне число в показовій формі 1 треба знати його модуль і аргумент. Модуль є довжина вектора ОС на комплексній площині:
.
а |
b |
чверть |
|
+ |
+ |
І |
arctg b/a |
– |
+ |
ІІ |
180 – arctg b/a |
– |
– |
ІІІ |
180 + arctg b/a |
+ |
– |
IV |
– arctg b/a |
Аргумент – це кут між додатним напрямком дійсної осі і вектором ОС. Ясно, що b/a = tg , звідки = arctg b/a.
При визначенні треба мати на увазі, що обчислювальні засоби дають значення arctg b/a в межах 0 90. Тому отримане значення треба скорегувати згідно таблиці:
Тригонометрична форма. При розв’язанні задач комплексним символічним методом виникає потреба перейти від показової форми до алгебраїчної. Вихідними є модуль і аргумент. Треба визначити дійсну і уявну частини і представити число в алгебраїчній формі.
З трикутника a = ccos , b = csin .
В комплексній формі С = a + jb = сcos + jсsin
Отриманий запис є тригонометричною формою комплексного числа.
Показова форма уявлення комплексного числа отримується із тригонометричної якщо неї підставити значення sin і cos , які виражені через формули Ейлера:
.
Після перетворення і приведення подібних отримаємо остаточно С = cе j.
Для виконання арифметичних операцій додавання і віднімання над комплексними числами зручніше використовувати алгебраїчну форму: C1 C2 = a1 + jb1 a2 + jb2 = (a1 a2) + j(b1 b2)
Для операцій множення і ділення зручніше використовувати показову форму:
C1 C2 = с1·e j с2·e j = с1с2·e j( + );
C1 / C2 = (с1·e j) / (с2·e j) = с1 / с2·e j( – ) ,
але можна і алгебраїчну: C1 C2 = (a1a2 – b1b2) + j(a1b2 + b1a2);
.
Два комплексних числа називаються спряженими, якщо відрізняються тільки знаками уявної частини (в алгебраїчній формі), або знаками аргументів (в показовій формі), наприклад:
a + jb та a – jb;
с·e j та с·e –j .
2.4.2. Уявлення параметрів електричного змінного струму через комплексні числа
Повертаючись до електричних величин можна провести аналогію між векторами, що обертаються і комплексними векторами. Ця аналогія дозволяє синусоїдальні величини відображувати комплексними числами. Комплексні значення струмів, напруг і ЕРС прийнято позначати .
Р озглянемо сутність символічного методу на прикладі кола, що складається із послідовно з’єднаних елементів r, L, C і джерела змінної напруги u = Um sin(ωt + ψ) (рис. 2.16). Таке коло описується рівнянням (за другим законом Кірхгофа):
u = ur + uL + uC або .
Щоб розв’язати задачу визначення струму і прямо, необхідно розв’язати інтегродиференціальне рівняння. Для зазначеного кола це можливо, але в багатьох випадках це складно, а іноді і недосяжно.
В символічному методі замість гармонічної функції u = Um sin(ωt + ψ) вводиться поняття комплексної гармонічної функції , яку можна уявити так: .
Величину називають комплексною амплітудою і позначають .
Тоді комплексну гармонічну функцію можна записати . Аналогічно записується для , . Іншими словами в символічному методі кожній гармонічній функції напруги u, струму і, ЕРС е ставиться у відповідність комплексна гармонічна функція . В подальшому гармонічні функції будемо називати оригіналами, а у комплексні гармонічні функції – зображеннями.
Застосуємо ці відповідності до компонентів рівняння послідовного кола.
Напруга на резисторі:
ur = ri ~ , де .
Із останнього виразу видно, що відображення опору резистора в оригіналі співпадає із його відображенням в комплексі. Це означає, що r ~ r, тобто зображення і оригінал активного опору співпадають.
Напруга на індуктивності:
Тут , де XL = jxL.
В оригіналі стоїть оператор диференціювання гармонічної функції, а в зображенні – множення на постійний множник jω комплексної гармонічної функції. У індуктивності XL = jxL, тобто зображення і оригінал не співпадають.
Напруга на ємності:
Тут , де XС = –jxС.
При інтегруванні гармонічної функції операція інтегрування заміняється операцією ділення на величину jω комплексної гармонічної функції.
Наведені результати показують, що застосовуючи символічний метод розв’язання інтегродиференціальних рівнянь в оригіналі зводиться до рішення алгебраїчних рівнянь в зображеннях.
Покажемо це на прикладі інтегродиференціального рівняння послідовного кола (рис. 2.16):
Тут – повний комплексний опір. Його модуль дорівнює .
Закон Ома для послідовного кола у символічній формі можна записати у виді . Для середньоквадратичних значень закон Ома має вид або .
Отже, використовуючи символічний метод задача рішення інтегродиференціального рівняння звелася до рішення одного рівняння з одним невідомим за законом Ома.
Послідовність розрахунку виглядає так:
За значенням прикладеної напруги u = Umsin(ωt + ψ) знаходять її зображення .
Через параметри кола r, L, C визначають зображення відповідних опорів: r = r; XL = jxL = jωL; XC = –jxC = –j·1/(ωC); Z = r + j(XL – XC).
За законом Ома знаходять або : ; і отримують результат в символічному виді.
Тепер задача полягає в тому, щоб за зображенням знайти фактичний струм в колі. Для цього необхідно знайдений струм в колі записати у вигляді комплексної гармонічної функції у тригонометричній формі
і згадати якою функцією була представлена прикладена напруга. В цьому прикладі вона була представлена синусом.
При синусі: . Символом «Im» виокремлюють коефіцієнт уявної частини комплексного числа.
П ри косинусі: . Символом «Re» позначають коефіцієнт дійсної частини.
Згадаємо вже знайомі кола з активним опором, індуктивністю і ємністю (рис. 2.17).
Побудуємо для цих кіл векторні діаграми, але вже на комплексній площині, вважаючи, що розташування вектора величини з нульовою початковою фазою співпадає з дійсною додатною піввіссю.
В усіх випадках вектор напруги направлений по осі дійсних чисел. Тому комплекс напруги , де U – модуль комплексу напруги, а 0 – його початкова фаза.
Комплекс струму:
у першому випадку –
у другому випадку –
у третьому випадку –
Отже комплексне зображення синусоїдальних величин визначає її діюче (амплітудне) значення і зсув фаз відносно вихідної величини, початкова фаза якої вважається рівною нулю.
Закони Кірхгофа. При розрахунку кіл синусоїдального змінного струму використовуються закони Кірхгофа, що справедливі для миттєвих, амплітудних та діючих значень, але:
для миттєвих значень – суми алгебраїчні.
ці рівняння справедливі у
векторній формі, тобто
суми не алгебраїчні, а векторні.