3. Электромагнитные волны в анизотропном диэлектрике.

В анизотропных диэлектриках векторы Р, D и Е в общем случае больше не парал­лельны, а  не явля­ется скаляром и представляет собой симметричный тензор второго ранга.

D= (11)

Можно выбрать такие три взаимно перпендикулярные оси (главные оси) что в тензоре останутся только 3 диагональных коэффициента - главные поляризуемости . То­гда соотношение (11) дает нам три равен­ства:

D_x = , D_y= , D_z = (12)

(12.1)

Мы рассмотрим здесь только решения, соответствующие распространению, поперечных волн. Векторы D, Е, , S перпендикулярные вектору Н, ком­планарны. Но D и Е теперь уже не параллельны. Нужно отличать направление (нормальное к волне) от на­правления S, по ко­торому распространяется энергия (луч света). Опыт показывает, что в оптически одноосных кристаллах свет распространя­ется одинаково во всех направ­лениях, составляющих один и тот же угол с оптической осью. Следовательно, эта ось является поворотной осью симметрии для оптических свойств. Возьмем такую ось за ось Oz, а оси Ох и Оу можно выбрать произвольно в плоскости, перпендикулярной оси Oz. Тогда будем иметь . Все кристаллы такого типа называются оптически одноосными. Возвраща­ясь к соотношению (12.1), замечаем, что величина в квадратных скобках представ­ляет собой проекцию вектора Е на направление D, пер­пендикулярное вектору . То­гда можно написать

D=

где скалярная зависящая от направления. Как было сказано выше, достаточно исследовать уравнение (12.1) в одной из плоскостей, проходящих через главную ось, например в плоскости yOz ; тогда где - угол, который составляет единичный вектор ⁰, с главной осью Oz. Этот единичный вектор ⁰ параллелен вектору . Три уравнения, соответствующие формуле (11) в декартовых координатах, после упрощений с учетом соотношений (12) сводятся к уравнениям

(13)

Первое из них дает , при или

n = (14)

Для Е_x показатель преломления не зависит от направления распространения волны, это показа­тель преломления n₀ для обыкновенного луча Условие совместности двух последних урав­нений (13) записывается в виде:

(15)

где введен, индекс от которого только и зависит или же

(E_x =0) (16)

Величина n_e = n_z - главный показатель преломления необыкновенного луча. Вектор Е необык­новенной волны лежит в плоскости yOz или же в общем случае - в плоскости, проходящей через волновой вектор и оптическую ось. Величина n_ изменяется от n_e, когда необыкновенная волна распространя­ется перпендикулярно оптической оси, до n₀, когда она распространяется параллельно этой оси. Таким образом, в любом направлении в одноосной среде могут распро­страняться независимо одно от другого двa световых колеба­ния линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях для которых показатели преломления в общем случае неодинаковы. То же самое относится и к оптически двухосным средам (кристаллам. не имею­щим оси симметрии выше второго порядка), но в таких кристаллах показатель преломления обыкновенного луча пере­стает быть постоянным. Распространение монохроматических элек­тромагнитных волн в таких средах можно харак­теризовать эллипсоидом показателей преломле­ния, определяемым уравнением:

=1 (17)

Центральное сечение этого эллипсоида плоскостью Р, перпендикулярной направлению ⁰, представ­ляет собой эллипс, оси которого ориентированы в направлении двух пре­имущественных электромагнитных колеба­ний.

Длины главных осей эллипсоида показателя преломления зависят от частоты. Ориента­ция их определя­ется симметрией кристалла. В триклинных кристаллах априори нельзя предположить выделенных направле­ний. В моноклинных кристаллах одна из главных осей совпадает с осью второго порядка, другие оси могут занимать произвольное положение в плоскости перпендикулярной этой оси. В орторомбических кристаллах главные оси совпадают с тремя осями второго порядка. Наконец, в одноосных кристаллах мы имеем эллипсоид (17) представляет собой эллипсоид вращения относительно главной оси Oz. Одна из полуосей эллипса при сечении плоскостью Р всегда равна n₀ , а другая лежит между n₀ и n_z = n_e .

Коэффициент поглощения  анизотропных тел, также как и показатель преломления, зависит от направле­ния электрического поля электромагнитной волны и может быть представлен в виде тензора второго ранга. Но главные оси тензоров  и не обязательно должны совпадать, если этого не требует симметрия кри­сталла. В этом случае можно просто заме­нить соот­ноше­ние (12.1) равенством

; = ^ - i^ ; = - i

где - тензор комплексной диэлектрической восприимчивости, ^ и ^ - действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости, и - действительная и мнимая части показателя преломления. Три главные составляю­щие тензора свя­заны с главными комплексными показателями преломления формулами -

(18)

Преимущественные колебания, вообще говоря, теперь поляризованы не линейно, а эл­липтически. Если поглощение мало и << 1, так что квадратом этой величины можно пренебречь по сравнению с единицей, то уравнение распространения электромагнитных волн распадается на два уравнения: одно из них относится к показателю преломления, а другое - к коэффициенту поглощения, который теперь зависит только от на­правления электрического поля волны, а не от направления ее распространения. Кристалл имеет в этом слу­чае три главных спектра поглощения = f ( ) (i=х, у, z ): говорят, что он плеох­роичен. В одноосных кристал­лах и имеются только два главных спектра погло­щения, соответствующих электрическому полю, параллельному или перпендикулярному оси; такой кристалл дихроичен.

В моноклинных кристаллах по условиям симметрии направление одной из главных осей тензоров и должно совпадать с направлением оси второго порядка Оz, а две дру­гие пары осей имеют произвольные взаимные ориентации в плоскости хОу. Тензор имеет четыре компоненты- . Из этого следует, что отнесенный к главным осям тензора, имеет в общем случае направления максимального и мини­мального поглоще­ния не перпендикулярны друг другу в плоскости xOy.

В триклинных кристаллах оси тензоров и в общем случае не совпадают. При задан­ной частоте тензор имеет шесть составляющих по осям тензора . Направления макси­мального и минимального поглощения теперь не должны быть обязательно взаимно перпендикулярными в каждой из координатных плоскостей.

Двум показателям преломления для линейно поляризованных электромагнитных колебаний, кото­рые могут распространяться в кристалле по нормали к его поверхно­сти, соответствуют два коэффициента отражения в соответствии с формулой Френеля.