линал
.pdf1.Определение определителя порядка n, его свойства.
Определителем порядка n , называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком "+", если множество вторых индексов является четной перестановкой чисел 1,2,...,n , и со знаком "–", если нечетной.
1. T = (определитель не меняется при транспонировании вокруг главной диагонали). 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, определитель равен нулю. 3. От перестановки двух строк определитель меняет лишь знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число k , определитель умножится на k . 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 7. Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы
aij = bj + c j , j = 1,...n , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки,
кроме i -й, такие же, как в исходном определителе, а i -я строка в одном определителе состоит из bj , а в другом - из c j . 8. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией
остальных его строк, определитель равен нулю. 9. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число.
2.Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций.
Суммой двух матриц A = |
|
|
|
aij |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , |
и B = |
|
|
|
bij |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , называется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
такая матрица C = |
|
|
|
cij |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , что "i |
"j cij = aij + bij .Иначе говоря, складывать можно |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
только матрицы одних и тех же порядков, причем сложение осуществляется поэлементно. Произведением матрицы A = 
aij 
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , на вещественное число l называется такая
матрица C = 
cij 
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , для которой "i "j cij = laij .Иными словами, чтобы
умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все ее элементы и оставить полученные произведения на прежних местах.
1. Сложение коммутативно: A + B = B + A . 2. Сложение ассоциативно: (A + B) + C = A + (B + C) . 3. Существует нулевая матрица Θ , удовлетворяющая условию A + Θ = A для всех А. 4. Для любой матрицы А существует противоположная матрица В, удовлетворяющая условию A + B = Θ .Для любых матриц А и В и любых действительных чисел l, m имеют место равенства: 5.
l(A + B) = lA + lB . 6. (l + m)A = lA + mA . 7. (lm)A = l(mA) . 8. 1× A = A .
3.Умножение матриц, свойства умножения (доказать ассоциативность).
Произведением матрицы A = |
|
|
|
aik |
|
|
|
, |
i = 1,2,.., s , |
|
k = 1,2,.., p , на матрицу B = |
bkj |
|
|
, k = 1,2,.., p , j = 1,2,..,n , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
называется матрица C = |
|
|
|
cij |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , с элементами cij = åaik bkj = ai1b1 j + ai2b2 j + ...+ aipbpj |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.Умножение дистрибутивно: (A + B)C = AС + BC , A(B + C) = AB + AC . |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.Умножение ассоциативно: (AB)C = A(BC) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть A = |
|
a |
|
, i = 1,2,.., s , k = 1,2,..,r , B = |
|
b |
|
, |
k = 1,2,..,r , l = 1,2,.., p , |
|
|
|
|
|
, l = 1,2,.., p , j = 1,2,..,n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C = |
|
c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим AB = U = |
|
|
|
uil |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , l = 1,2,.., p , |
UC = T = |
|
tij |
|
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , BC = V = |
|
vkj |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = 1,2,..,r , j = 1,2,..,n , AV = W = |
|
wij |
|
, i = 1,2,.., s , |
j = 1,2,..,n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
Имеем
|
= |
p |
= |
p |
æ |
r |
|
ö |
|
= |
p |
æ |
r |
|
ö |
= |
t |
u c |
|
ç |
|
a b |
÷ c |
|
ç |
|
a b c |
÷ |
|||||
ij |
T =UC |
å il lj |
|
åç |
å ik kl ÷ |
lj |
c вносим под |
åç |
å ik kl lj ÷ |
|
||||||
|
l=1 |
U = AB l=1 |
è k=1 |
|
ø |
|
lj |
l=1 |
è k=1 |
|
ø |
|
||||
знак внутренней суммы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r æ |
p |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
æ |
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
a b c |
÷ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
a |
ç |
b c |
÷ = |
= |
|
|
|
|
a v |
|
|
|
|
= w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изменяем порядок |
åç |
å ik kl |
|
lj |
÷ aik выносим за |
å ik |
ç |
å kl lj |
÷ |
V =BC |
å ik kj |
W= AV ij |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
суммирования |
|
|
к=1è l=1 |
|
|
|
|
ø знак внутренней k=1 |
è l=1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
таким образом, T = W . Вернемся к старым обозначениям и получим: (AB)C = A(BC) , т.е. свойство 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.Умножение матриц, свойства умножения (доказать дистрибутивность). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произведением матрицы A = |
|
|
|
aik |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , |
k = 1,2,.., p , на матрицу B = |
|
|
|
bkj |
|
|
|
, |
k = 1,2,.., p , j = 1,2,..,n , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
называется матрица C = |
|
|
|
cij |
|
|
|
|
, i = 1,2,.., s , |
j = 1,2,..,n , с элементами cij = åaik bkj |
= ai1b1 j + ai2b2 j + ...+ aipbpj |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.Умножение дистрибутивно: (A + B)C = AС + BC , A(B + C) = AB + AC . |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.Умножение ассоциативно: (AB)C = A(BC) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть A = |
|
|
|
aik |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , |
|
|
|
k = 1,2,.., p , B = |
|
|
|
bik |
|
|
|
|
, |
i = 1,2,.., s , |
k = 1,2,.., p , C = |
|
|
|
ckj |
|
|
|
, k = 1,2,.., p , j = 1,2,..,n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим A + B = U = |
|
|
|
uik |
|
|
|
, i = 1,2,.., s , k = 1,2,.., p , UC = T = |
|
|
|
tij |
|
|
|
|
, i = 1,2,.., s , j = 1,2,..,n , AC = V = |
|
|
|
vij |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC = W = |
|
|
|
wij |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Имеем tij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
åuik ckj |
|
|
|
= |
|
|
|
|
å(aik + bik )ckj = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
по определению, k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как U = A+B k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T =UC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= å(aik ckj + bik ckj ) = åaik ckj + åbik ckj = vij + wij , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и, таким образом, в соответствии с определением 6 |
T = V +W , или, возвращаясь к старым |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обозначениям, (A + B)C = AС + BC . Свойство 1 доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.Обратная матрица, существование и единственность.
Пусть A - произвольная квадратная матрица. Матрица B называется правой обратной для A , если AB = E . Матрица C называется левой обратной для A , если CA = E .
Квадратная матрица A называется вырожденной (особенной), если A = 0 , и невырожденной (неособенной), если A ¹ 0 . Утверждение. Вырожденная матрица не имеет ни правой, ни левой обратной. Доказательство. Пусть A - вырожденная. Допустим, B - правая обратная для A , т.е.
AB = E . Тогда |
|
теорема 2 |
|
|
|
|
A =0 |
|
, но |
|
|
|
|
, что является противоречием, следовательно, |
|
|
AB |
= |
A |
× |
B |
= |
0 |
|
AB |
= |
E |
= 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из лекции 6
A не имеет правой обратной. Аналогично доказывается, что A не имеет и левой обратной.
Утверждение. Пусть - произвольный определитель порядка n . Сумма произведений всех элементов любого столбца (строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю. Доказательство. В силу теоремы о разложении по строке (лекция 6, теорема 1) имеем = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ...+ anj Anj , где Akj - алгебраическое дополнение к
элементу akj . Пусть b1,b2,...,bn - произвольные вещественные числа. Рассмотрим сумму
S = b1A1 j + b2 A2 j + ...+ bn Anj .Привлекая ту же теорему о разложении по строке, можем записать
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
|
|
a11 |
|
|
... |
|
b1 ... |
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S = |
a21 |
|
|
... |
|
b2 ... |
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
... ... ... ... ... |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
an1 |
|
|
... |
|
bn ... |
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возьмем в качестве чисел bk , |
k = 1,...,n , элементы i -го столбца определителя , i ¹ j , тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S* = a |
|
A |
|
+ a |
A |
|
+ ...+ a A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1i |
|
1 j |
|
|
2i |
2 j |
|
|
|
ni |
nj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a11 ... |
|
|
a1i ... |
|
|
a1i ... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
a21 ... |
|
|
a2i ... |
|
|
a2i ... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
... ... ... ... |
|
|
... ... |
... |
|
|
|
|
|
свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
an1 ... |
|
|
ani ... |
|
|
ani ... |
ann |
|
|
определителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i-й |
|
|
|
|
j-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
столбец |
|
|
|
|
столбец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Утверждение доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Перейдем к построению обратной матрицы методом присоединенной. Пусть A - невырожденная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрица порядка n :Матрица A* |
называется присоединенной для A . Элементами матрицы A* |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются алгебраические дополнения к элементам матрицы A , причем алгебраические |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дополнения к элементам i-й строки матрицы A помещены в i-й столбец A* .Обозначим |
|
A |
|
= . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Матрица B = |
|
1 |
|
* |
является правой и левой обратной для A . Действительно, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
0 |
... |
0 |
ö |
æ |
1 |
0 |
... |
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
|
* ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ç |
0 |
|
|
... |
0 |
÷ |
ç |
0 |
1 |
... |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
AB = A×ç |
|
|
A ÷ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
... ... |
... |
|
÷ |
= ç |
|
... |
... |
|
÷ = E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
теорема о |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
...÷ |
ç... |
...÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
разложении по строке |
|
|
ç |
0 |
|
0 |
... |
|
÷ |
ç |
0 |
0 |
... |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и утверждение 3 |
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, матрица B = |
|
|
|
|
A |
|
- правая обратная для |
A . Аналогично |
|
A A = E , и матрица |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B = |
1 |
|
|
* |
является и левой обратной для A . Она называется обратной для A и обозначается |
|
-1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
æ A11 |
|
A21 |
|
|
... |
An1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A-1 |
= |
|
1 ç |
A |
|
|
A |
|
|
... |
A |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
|
12 |
|
|
22 |
|
|
|
n2 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ç ... ... |
|
|
... ... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ç |
A1n |
|
A2n |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
... |
Ann ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Утверждение. |
|
Матрица |
A-1 |
- единственная обратная для A . Действительно, допустим, |
$C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
такая, что CA = AC = E . Рассмотрим CAA-1 = C (AA-1 ) = CE = C . С другой стороны,
CAA-1 = (CA) A-1 = EA-1 = A-1 , следовательно, C = A-1 .
6.Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Пусть A - прямоугольная матрица размера s ´ n . Выберем в A произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют
определитель M порядка k , который называется минором порядка k матрицы A . Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A . Теорема (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы A является линейной комбинацией базисных столбцов одного и того же
базисного минора. Доказательство. Пусть rang |
A = r и отличен от нуля минор M , |
расположенный в первых r строках и первых r |
столбцах матрицы A , т.е. в левом верхнем |
углу.Докажем сначала, что арифметические векторы
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
|
|
æ a11 |
ö |
|
|
|
æ a12 |
ö |
|
|
|
æ a1r ö |
||
a |
= |
ç ... |
÷ |
, a |
2 |
= |
ç ... |
÷ |
, a |
r |
= |
ç |
... |
÷ |
1 |
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
||
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
è as1 |
ø |
|
|
|
è as2 |
ø |
|
|
|
è asr ø |
||
составляют линейно независимую систему. Допустим, что a1,a2,...,ar линейно зависимы, тогда
$k1,...,kr , $j, |
1 £ j £ r , |
|
k j ¹ 0 , что k1a1 + k2a2 + ...+ kr ar = q , т.е. выполняется система тождеств: |
||||||||||||||
ì a11k1 + a12k2 + ...+ a1r kr = 0, |
|
|
|||||||||||||||
ïa |
k |
+ a |
|
k |
2 |
+ ...+ a |
2r |
k |
r |
= 0, |
|
|
|||||
ï |
21 1 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï ........................................ |
|
|
|
||||||||||||||
ï a |
k |
+ a |
s2 |
k |
2 |
+ ...+ a |
sr |
k |
r |
= 0. |
|
|
|||||
î |
|
s1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Первые r |
равенств системы можно переписать в виде |
||||||||||||||||
|
æ a11 |
ö |
|
|
|
|
æ a1 j |
ö |
|
|
|
|
|
æ a1r ö æ 0 ö |
|||
k |
ç ... |
÷ + ...+ k |
ç ... |
÷ + ...+ k |
r |
ç ... |
÷ = ç...÷ . |
||||||||||
1 |
ç |
÷ |
|
|
|
|
j ç |
÷ |
|
|
|
|
ç |
÷ ç ÷ |
|||
|
ç a |
÷ |
|
|
|
|
ç a |
÷ |
|
|
|
|
|
ç a |
÷ ç 0 ÷ |
||
|
è r1 |
ø |
|
|
|
|
è rj |
ø |
|
|
|
|
|
è rr ø è ø |
|||
Учитывая, что k j |
|
¹ 0 , получим |
|||||||||||||||
æ a1 j ö |
|
k |
æ a1 j |
|||
ç |
|
÷ |
|
ç |
||
ç ... |
÷ |
= - |
1 |
ç ... |
||
k j |
||||||
ç a |
|
÷ |
|
ç a |
||
è |
rj ø |
|
|
è rj |
||
ö |
|
k |
|
æ a1r ö |
|
|
||
÷ |
-...- |
r |
ç |
|
÷ |
; j -й столбец определителя M |
оказался линейной комбинацией |
|
÷ |
|
ç |
... ÷ |
|||||
|
|
|||||||
÷ |
|
k j ç a |
÷ |
|
|
|||
ø |
|
|
|
è |
|
rr ø |
|
|
остальных. Тогда M = 0 - противоречие, и, следовательно, векторы a1,a2,...,ar линейно
независимы. Докажем теперь, что любой столбец матрицы A является линейной комбинацией первых r столбцов. Рассмотрим вспомогательный определитель
|
a11 |
... |
a1r |
a1l |
|
l = |
... ... ... |
... |
, полученный "окаймлением" минора M элементами k -й строки и l -го |
||
|
ar1 |
... |
arr |
arl |
|
|
ak1 |
... |
akr |
akl |
|
столбца, 1 £ k £ s, r +1 £ l £ n . Утверждается, что l = 0 .Действительно, возможны два случая. Случай 1: k > r . Тогда l - минор матрицы A порядка r +1 и по условию l = 0 (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен r , следовательно, все миноры порядка r +1 равны
нулю). Случай 2: k £ r . Тогда |
|
l содержит две одинаковые строки, следовательно, l = 0 . Итак, |
|||||||||||||||||
всегда |
l = 0 . Разложим |
l |
по последней строке. Отметим, что если Akj |
- алгебраическое |
|||||||||||||||
дополнение к элементу akj |
из последней строки определителя |
l , то |
|
||||||||||||||||
|
= |
|
a11 ... |
a1 j-1 |
a1 j+1 ... |
a1l |
|
× (-1)r+1+ j , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A |
|
... ... ... |
|
... ... |
... |
|
|
|
|
||||||||||
kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar1 ... |
ar j-1 |
ar |
j+1 ... |
arl |
|
|
|
|
|
|||||||
и Akj не зависит от k |
( k |
был номером строки в матрице A , а в |
l |
эти элементы занимают r +1 - |
|||||||||||||||
ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам akj |
в |
l , |
j = 1,..,n , можем |
||||||||||||||||
обозначить Aj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
= ak1A1 + ak 2 A2 + ...+ akl M = 0 Þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ¹0 |
|
|
|
||
a |
= - |
A1 |
a |
- |
A2 |
|
a |
-...- |
Ar |
a . |
|
|
|
|
|
||||
M |
M |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
kl |
|
|
|
k1 |
|
k 2 |
|
|
M |
|
kr |
|
|
|
|
|
|||
Полагая k = 1,..., s , получим s равенств:
a1l = - MA1 a11 - MA2 a12 -...- MAr a1r ,
a2l = - MA1 a21 - MA2 a22 -...- MAr a2r ,
…………………………………………
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
asl = - |
A1 |
as1 - |
A2 |
as2 -...- |
Ar |
asr , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
æ a1l |
ö |
|
|
æ a11 |
ö |
|
|
|
æ a12 |
ö |
|
|
æ a1r ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ç a |
÷ |
|
A |
ç a |
÷ |
|
|
A |
ç a |
÷ |
|
A ç a |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или в матричной форме: |
ç 2l |
÷ |
= - |
1 |
ç 21 |
÷ |
- |
|
2 |
ç 22 |
÷ - |
...- |
r |
ç |
2r ÷ |
, т.е. l |
-й столбец матрицы |
||||||||||||||
M |
|
M |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç ... |
÷ |
|
ç ... |
÷ |
|
|
ç ... |
÷ |
|
M ç |
... ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è asl |
ø |
|
|
è a s1 |
ø |
|
|
|
è as2 |
ø |
|
|
è asr ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оказался линейной комбинацией первых r |
столбцов с коэффициентами - |
A1 |
,- |
A2 |
|
,...,- |
Ar |
|
|||||||||||||||||||||||
M |
M |
|
M |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ a1l ö |
|
æ a11 |
ö |
|
æ a1l ö |
|
|
æ a1r |
ö |
|
|
|||||
Было принято, что r +1 £ l £ n . Если |
|
|
|
|
|
ç a |
÷ |
|
ç a |
÷ |
|
ç a |
÷ |
|
|
ç a |
÷ |
|
|
||||||||||||
1 £ l £ r , то ç |
2l ÷ |
= 0×ç 21 |
÷ |
+ ...+1×ç |
2l ÷ |
+ ...+ 0×ç 2r |
÷ . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç ... ÷ |
|
ç ... |
÷ |
|
ç ... ÷ |
|
|
ç ... |
÷ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è asl ø |
|
è a s1 ø |
|
è asl ø |
|
|
è asr |
ø |
|
|
||||||
A
.
Таким образом, любой столбец матрицы A является линейной комбинацией базисных столбцов.
7.Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.
Пусть A - прямоугольная матрица размера s ´ n . Выберем в A произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют
определитель M порядка k , который называется минором порядка k матрицы A . Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A .
8.Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы элементарными преобразованиями.
Пусть A - прямоугольная матрица размера s ´ n . Выберем в A произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют
определитель M порядка k , который называется минором порядка k матрицы A . Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A . Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие: 1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число l ¹ 0 ; 3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.
9.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
ì a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = b1, |
||||||||||
ïa |
x + a |
|
x |
+ ...+ a |
x |
= b , |
||||
Дана система. íï 21 1 |
|
22 |
2 |
|
2n n |
2 |
||||
ï ........................................... |
||||||||||
ï a |
s1 |
x |
1 |
+a |
s2 |
x |
+ ...+ a |
sn |
x |
= b . |
î |
|
|
2 |
|
n |
s |
||||
Пусть a11 ¹ 0 (если это не так, возьмем в качестве первого любое другое уравнение с коэффициентом при x1 , отличным от нуля, и перенумеруем уравнения; хотя бы одно такое уравнение найдется, иначе x1 просто отсутствовал бы). Обе части первого уравнения,
умноженные на |
- |
a21 |
, прибавим к обеим частям второго уравнения, умноженные на |
- |
a31 |
, - к |
|||||||
a |
a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|||
обеим частям третьего и т.д., умноженные на |
- |
as1 |
- к обеим частям s -го уравнения. Придем к |
||||||||||
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||
новой системе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ìa11x1 + a12x2 + ...+ a1n xn = b1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ï |
a¢ |
x |
+ ...+ a¢ |
x = b¢ , |
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
22 |
2 |
2n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
í |
.................................. |
|
|
|
|
|
|
||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ï |
a¢ |
x |
+ ...+ a¢ |
x = b¢. |
|
|
|
|
|
|
|||
î |
s2 |
2 |
sn |
n |
s |
|
|
|
|
|
|
||
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
Эта система эквивалентна данной системе. Первое неизвестное исключили из всех уравнений системы, начиная со второго. Уже после первого шага может встретиться уравнение вида
0× x1 + 0× x2 + ...+ 0× x n = bi¢ , 2 £ i £ s .Если bi¢ = 0 , этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел k1,...,kn . В этом случае уравнение будем отбрасывать. Если bi¢ ¹ 0 , уравнению не удовлетворяет никакой набор чисел k1,...,kn , и система, содержащая такое уравнение, несовместна, следовательно, несовместна и эквивалентная ей данная система. В этом случае преобразования
по методу Гаусса будем прерывать. Итак, |
имеем систему. Среди коэффициентов aij , i = 2,.., s , |
j = 2,..,n , есть отличные от нуля (иначе либо система несовместна, либо уравнения можно |
|
¢ |
¢ |
отбросить). Пусть для определенности a22 |
¹ 0 (если a22 = 0 , но отличен от нуля коэффициент при |
x2 в другом уравнении, можно перенумеровать уравнения, если "j = 2,...,n a j2 = 0 , можно
перенумеровать неизвестные). Обе части второго уравнения, умноженные на - a31¢ , прибавим к
a22¢
обеим частям третьего уравнения и т.д., обе части второго уравнения, умноженные на - as¢2 , - к
a22¢
обеим частям s -го уравнения. Этим исключим неизвестное x2 из всех уравнений, кроме первого и второго, и придем к системе
ìa11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1n xn = b1, |
|||||||||
ï |
a¢ |
x |
+ a¢ |
|
x |
+ ...+ a¢ |
x |
= b¢ , |
|
ï |
22 |
2 |
23 |
3 |
2n |
n |
2 |
||
ï |
|
|
a¢¢ |
x |
+ ...+ a¢¢ |
x |
= b¢¢, |
||
í |
|
|
|||||||
|
|
33 3 |
3n |
n |
3 |
||||
ï |
|
|
|
|
................................ |
||||
ï |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
¢¢ |
|
+ ...+ a |
¢¢ |
|
¢¢ |
|
ï |
|
|
a |
x |
x |
||||
|
|
|
|
= b . |
|||||
î |
|
|
|
s3 3 |
|
sn n |
s |
||
Аналогичным образом продолжим процесс исключения неизвестных. Если после нескольких шагов получим уравнение вида 0× x1 + 0× x2 + ...+ 0× x n = bi¢ , 2 £ i £ s в котором bi¢ ¹ 0 , можно сделать
вывод о несовместности системы. Если же такое уравнение не встретится, придем к системе
ìa11x1 + a12x2 + ...+ a1k xk + ...+ a1n xn = b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ï |
a¢ |
x |
+ ...+ a¢ |
x + ...+ a¢ |
x |
= b¢ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
22 |
2 |
|
2k |
k |
2n |
n |
|
2 |
|
(8.7) эквивалентной данной системе. Здесь a11 |
¹ 0 , a22 ¹ 0 , …, |
||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ï |
................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(k-1) |
|
(k-1) |
|
(k-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
î |
akk |
|
xk + ...+ akn |
xn = bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a(k -1) ¹ 0 , k £ s, k £ n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìa11x1 + a12x2 + ...+ a1n xn = b1, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï a¢ |
x + ...+ a¢ |
x |
= b¢ |
, |
|
|
|||
При |
k = n |
система (8.7) имеет вид |
íï |
22 |
2 |
2n |
n |
|
2 |
|
(8.8) |
|
||||||||
................................................ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
(n-1) |
|
(n-1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
ann |
xn = bn |
|
|
|
|||
Из последнего уравнения найдем значение x |
( a(n-1) |
¹ 0 ), подставим в (n -1) -е, найдем x |
|
|
n |
nn |
n-1 |
( a(n-2) |
¹ 0 ) и т.д. до первого уравнения, из которого определится x . Система (8.8) в этом случае |
||
n-1,n-1 |
|
|
1 |
имеет единственное решение и эквивалентная ей данная система является определенной. При k < n в последнем уравнении системы (8.7) присвоим неизвестным xk +1,..., xn произвольные
числовые значения: xk+1 = ck+1, ..., |
xn = c n . Из последнего, k -го, уравнения системы (8.7) найдем xk |
||
( a(k -1) |
¹ 0 ), подставим в (k -1) -е уравнение, найдем x |
и т.д., двигаясь снизу вверх по системе |
|
kk |
|
k-1 |
|
(8.7), найдем вполне определенные значения xk ,..., x1 . Так как значения для неизвестных xk +1,..., xn
можно выбрать бесчисленным множеством способов, система (8.7) в случае k < n будет неопределенной. Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований встретится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, система несовместна. Если такое уравнение не встретится, система совместна. Она является определенной, если приводится к треугольному виду (8.8), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (8.7).
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
10.Правило Крамера: если |
= |
|
A |
|
|
|
¹ 0 , то решение системы может быть найдено по формулам |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
x j = |
|
j |
, |
j = 1,...,n , где |
j - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
при x j |
заменить столбцом свободных членов. Пусть дана система n линейных алгебраических |
||||||||||||||||||||
уравнений с n неизвестными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ì a11x1 + a12x2 + ...+ a1n xn = b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ïa |
x + a |
x + ...+ a |
x |
|
= b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ï 21 1 |
|
22 2 |
|
|
2n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï ........................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ïa |
x + a |
x + ...+ a |
x |
= b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
î n1 1 |
|
n2 2 |
|
|
nn |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим A = |
|
aij |
|
|
, |
i, j = 1,...,n . |
|
|
= |
|
A |
|
будем называть определителем системы. Обозначим |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ x |
ö |
æ b |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X = |
ç 1 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç ... |
÷ |
, B = ç |
... ÷ . Система равносильна матричному уравнению AX = B . |
||||||||||||||||||
|
ç x |
÷ |
çb |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
è n |
ø |
è |
n |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема. Если = A ¹ 0 , то система имеет, притом единственное, решение. Доказательство. Так как = A ¹ 0 , то $A-1 . Умножим обе части уравнения на A-1 слева:
A-1 ( AX ) = (A-1A)X = EX = X = A-1B . Итак, решением матричного уравнения является матрица
X= A-1B - матричное уравнение имеет решение, следовательно, система совместна.
xj = 1 (A1 j ×b1 + A2 j ×b2 + ...+ Anj ×bn ) =
|
|
|
a11 |
... |
b1 ... |
a1n |
|
|
|
|
= |
1 |
a21 |
... |
b2 ... |
a2n |
= |
|
j |
, j = 1,...n. |
|
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(9.3) |
|||||
|
|
|
an1 |
... |
bn ... |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
j-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
обозначим |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение системы дается формулами (9.3), и так как , j , j = 1,...,n , вполне определенные числа, единственно.
11.Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда rang A = rang A .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì a11x1 + a12x2 + ...+ a1n xn = b1, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïa |
x + a |
|
|
x |
+ ...+ a |
|
x |
= b , |
Пусть система совместна и |
Доказательство. Необходимость. íï 21 1 |
22 |
2 |
2n |
n |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï ........................................... |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï a |
x + a |
s2 |
x |
+ ...+ a |
sn |
x |
= b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
s1 1 |
|
2 |
|
n |
s |
|
||
l1,l2,...,ln |
- решение её, следовательно, |
справедливы тождества |
|||||||||||||||||
ì a11l1 + a12l2 + ...+ a1nln = b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ïa |
l + a |
22 |
l |
2 |
+ ...+ a |
|
l |
n |
= b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï 21 1 |
|
2n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï ............................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ï a |
l + a |
s2 |
l |
2 |
+ ...+ a |
sn |
l |
n |
= b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
s1 1 |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В матрице A к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на -l1 , второй, умноженный
|
|
|
æ a11 |
a12 |
... |
a1n |
0 |
ö |
|
|
|
|
ç a |
a |
... |
a |
0 |
÷ |
|
на -l2 ,…, |
n -й, умноженный на -ln. Получим, A ~ç 21 |
22 |
|
2n |
|
÷ |
= B . |
||
|
ç ... ... |
... ... |
...÷ |
|
|||||
|
ç |
as2 |
|
asn |
|
÷ |
|
||
|
|
|
è as1 |
... |
0 |
ø |
|
||
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
Поскольку выполнялись элементарные преобразования, то rang B = rang A , но rang B = rang A (добавление столбца из нулей не может изменить ранга), отсюда rang A = rang A .
Достаточность. Пусть rang A = rang A = r . Это означает, что существует минор D ¹ 0 порядка
r , а все миноры порядка r +1 , окаймляющие D , равны нулю. Пусть D расположен в левом верхнем углу матрицы A (это предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что D будет расположен в первых r строках и первых r столбцах матрицы A ):
æ a |
... |
a |
|
... |
||
|
||||||
ç |
11 |
|
1r |
|
|
|
ç ... ... ... |
|
... |
||||
ç a |
... |
a |
|
... |
||
ç |
r1 |
|
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ç ... ... ... ... |
||||||
ç |
|
|
asr ... |
|||
è as1 |
... |
|||||
a1n ö÷
... ÷
arn ÷÷ .
... ÷÷
asn ø
Тогда первые r строк матрицы линейно независимы, а остальные s - r строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые r уравнений линейно выражаются остальные s - r уравнений. Таким образом, вся система эквивалентна
ìa11x1 + ...+ a1n xn = b1, |
||||
первым r уравнениям: íï |
.............................. |
(9.6) |
||
ïa |
x + ... |
+ a |
x = b . |
|
î |
r1 1 |
rn |
n |
r |
Случай 1: r = n . Система (9.6) имеет единственное решение (определитель системы (9.6) D ¹ 0 , - применяем теорему 1). Его можно найти, например, по правилу Крамера.
Случай 2: r < n . Перепишем (9.6) в виде
ì a x ...+ + a x = b - a |
x |
-...- a x , |
|
|||
ï 11 1 |
1r r |
1 |
1,r+1 r+1 |
1n n |
|
|
í .............................................................. |
|
|
|
|
(9.7) |
|
ïa x ...+ + a x = b - a |
x |
-...- a x . |
|
|||
î r1 1 |
rr r |
r |
r,r+1 r+1 |
rn n |
|
|
Неизвестные x1,..., xr |
|
назовем главными, xr+1,..., xn - свободными. Присвоим свободным |
||||
неизвестным произвольные числовые значения, положим xr+1 = cr+1,..., xn = cn . Тогда согласно |
||||||
теореме 1 из системы (9.7) определится единственный набор |
x1 = c1,..., xr = cr главных |
|||||
неизвестных. Таким образом, набор n чисел x1 = c1,..., xr = cr , |
xr+1 = cr+1,..., xn = cn является решением |
|||||
системы. Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система имеет бесчисленное множество решений. И в случае 1, и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана.
12.Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
Пусть дана система линейных однородных уравнений
ìa11x1 + ...+ a1n xn = 0,
ï .................................
í
ïîas1x1 + ...+ asn xn = 0.
Система всегда совместна (решение x1 = x2 = ... = xn = 0 всегда присутствует среди решений). Если rang A = r = n , то это решение - единственное, если r < n , система имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от x1 = x2 = ... = xn = 0 ). Теорема. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений является решением
|
æ a1 |
ö |
|
|
системы. Доказательство. Пусть X1 |
ç |
÷ |
|
|
= ç a2 |
÷ |
и |
X2 |
|
|
ç ... |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
è an |
ø |
|
|
Пусть i - некоторое число, 1 £ i £ s . Подставим
æ b1 ö
=ççb2 ÷÷ - произвольные решения системы.
çç ... ÷÷ èbn ø
Created with ReaSoft PDF Printer free trial. Purchase at http://www.reasoft.com/
|
æ a1 |
+ b1 |
ö |
|
ç |
|
÷ |
Y = X1 + X2 |
= ç a2 |
+ b2 |
÷ |
|
ç ........... |
÷ |
|
|
ç |
+ bn |
÷ |
|
è an |
ø |
|
в i -е уравнение системы:
ai1(a1 + b1) + ...+ ain (an + bn ) = |
|
|
|
|
|
|||
= ( ai1a1 + ...+ ainan |
) + ( |
ai1b1 + ...+ ainbn |
) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=0, так как X1 - решение (9.8) |
|
=0, так как X2 - решение (9.8) |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
Y = X1 + X2 |
удовлетворяет i -му уравнению системы при произвольном i , 1 £ i £ s , |
||||||
т.е. Y = X1 + X2 |
является решением системы. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
æ la1 |
ö |
|
|
Пусть l - произвольное вещественное число, Z = lX1 |
ç |
÷ |
|
|
||||
= ç la2 |
÷ |
. Подставим |
Z в i -е уравнение |
|||||
|
|
|
|
|
ç ... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
è lan |
ø |
|
|
системы, 1 £ i £ s : |
ai1 |
(la1) + ...+ ain (lan ) = l( ai1a1 + ...+ ainan |
) = 0 |
Следовательно, Z = lX1 - решение |
|
|
|
|
|
|
|
=0, так как X1 - решение |
(9.8) |
|
системы. Итак, сумма любых двух решений системы и произведение любого решения на число являются решениями системы, следовательно, любая линейная комбинация решений системы является решением.
Определение. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными x1,..., xn и
матрицей A , rang A = r . Пусть неизвестные xi |
,..., xi |
являются свободными. Обозначим через ek , |
1 |
n-r |
|
k = 1,...,n - r , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному xik
присвоить значение 1, а остальным свободным неизвестным - значение 0 . Система решений
e1,...,en-r называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений. Теорема. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей A ,
rang A = r , и e1,...,en-r - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений e1,...,en-r .
13.Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры. Следствия из аксиом.
Определение. Совокупность V элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов x и y из V установлено понятие суммы x + y , а для любого элемента x из V и любого действительного числа l установлено понятие произведения элемента x на число l , обозначаемое lx . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:
1. Сложение коммутативно: x + y = y + x . 2. Сложение ассоциативно: (x + y) + z = x + (y + z) . 3.
Существует нулевой вектор q , удовлетворяющий условию x + q = x для всех x .4. Для любого вектора x существует противоположный вектор y , удовлетворяющий условию x + y = q .Для
любых векторов x , y и любых действительных чисел a, b имеют место равенства:5.
(a + b)x = ax + bx .6. a (x + y) = ax + by .7. a (bx) = (ab)x .8. 1× x = x . Элементы линейного пространства принято называть векторами. Пример. Совокупность V = {Pn (x)} всех многочленов степени £ n составляет линейное пространство. Решение. Проверим выполнение всех аксиом. В самом деле,
пусть x = Pn (x) = a0 + a1x + ...+ an xn ; y = Qn (x) = b0 + b1x + ...+ bn xn . По правилу сложения двух многочленов имеем
x + y = Pn (x) + Qn (x) = (a0 + a1x + ...+ an xn )+ b0( + b1x + ...+ bn xn ) = = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + ...+ (an + bn )xn =
= (b0 + a0 ) + (b1 + a1 ) x + ...+ (bn + an )xn = Qn (x) + Pn (x) = y + x , следовательно, аксиома 1 выполняется.
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
В качестве нулевого вектора берем многочлен, тождественно равный нулю: q(x) º 0 . Для любого многочлена Pn (x) имеет место аксиома 3: Pn (x) + q(x) = Pn (x) + 0 = Pn (x) . Проверим выполнение
аксиомы 4. Пусть x = Pn (x) = a0 + a1x + ...+ an xn - произвольный многочлен из V . В качестве противоположного элемента y возьмем многочлен y = Qn (x) = -a0 - a1x -...- an xn . По свойству сложения многочленов имеем x + y = Pn (x) + Qn (x) =
= (a0 + a1x + ...+ an xn )+ -(a0 - a1x -...- an xn ) =
= (a0 - a0 ) + (a1 - a1 ) x + ...+ (an - an ) xn = q(x) .
Так как все аксиомы линейного пространства выполняются для множества V многочленов степени £ n , то V является линейным пространством.
следствия из аксиом.
1.Единственность нулевого элемента. Действительно, допустим, $q1 и $q2 - нулевые элементы,
следовательно, "x Î V x + q1 = x, |
x + q2 = x . Имеем q1 + q2 = q1 (так как q2 |
- нулевой), но |
|
|
|||||||||||||||||||||||
q + q |
= |
q |
|
+ q |
= q |
|
(так как |
q |
- нулевой), следовательно, q |
= q |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 акс. 1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Единственность противоположного элемента. Пусть a Î V и a1, a2 |
- противоположные |
|
|
||||||||||||||||||||||||
элементы для a , т.е. a + a1 = q , a + a2 = q . Рассмотрим вектор a1 + (a + a2 ) . Имеем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a + (a + a |
|
) = a + q = a . С другой стороны, a |
+ (a + a |
|
) |
= |
(a + a) + a |
|
= q + a |
= a |
|
+ q = a |
|
Þ a = a |
|
. |
|||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
акс. 2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 акс.1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
3. Существование и единственность разности. Для любых двух векторов a и b назовем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
разностью a |
и b такой вектор d , что b + d = a . Обозначим d = a - b . Положим d = a + (-b) . Имеем |
||||||||||||||||||||||||||
b + d = b + (a + (-b)) = b + ((-b) + a) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
акс. 1 |
акс.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (b + (-b)) + a = q + a = a + q = a . Следовательно, вектор d = a + (-b) |
удовлетворяет определению |
|
|
||||||||||||||||||||||||
разности. Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению. Пусть $c : bс+ a= . К обеим частям последнего равенства прибавим вектор (-b) :
(b + c) + (-b) = (c + b) + (-b) = c + (b + (-b)) =
акс.1 акс. 2
= c + q = c = a + (-b) Þ c = d - таким образом, вектор d = a + (-b) - единственный.
4.Для любого вещественного числа a a ×q = q .5.Для любого вектора a Î V 0×a = q .6.Если a ×a = q , то либо a = 0 , либо a = q . Для любого вещественного числа a и любого a Î V справедливы
соотношения: 7. a ×(-a) = -(a ×a) ; 8. (-a)×a = -(a ×a) .
14.Базис линейного пространства. Примеры базисов в конкретных пространствах.
Определение. Система векторов e1,e2,...,en линейного пространства V называется базисом в V , если: 1) e1,e2,...,en линейно независима; 2) "x Î V $l1,l2,...,ln (вещественные числа):
x = l1e1 + l2e2 + ...+ lnen .Правая часть равенства называется разложением вектора x по базису
e1,e2,...,en , а числа l1,l2,...,ln - координатами вектора x в базисе e1,e2,...,en . Пример. V - линейное пространство всех геометрических векторов, базисом являются любые три некомпланарных вектора. Пример. V = {Pn (x)} - линейное пространство всех многочленов
степени £ n . Показать, что базисом является система векторов e1 = 1, e2 = x, e3 = x2..., en+1 = xn . Решение. Составим линейную комбинацию векторов e1,e2,...,en+1 и приравняем ее нулевому
вектору: l1e1 + l2e2 + ...+ ln+1en+1 = q , или l1 + l2x + ...+ ln+1xn = 0 . Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени n с действительными коэффициентами имеет ровно n корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это утверждение
означает, что равенство l1 + l2x + ...+ ln+1xn = 0 возможно не более, чем в n точках, т.е. не может
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/