линал
.pdf
|
æ |
n |
n |
ö |
n |
æ |
n |
ö |
|
Тогда (x,y) = |
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
åxi y j (ei ,e j ) |
÷ |
. Но во внутренней сумме всего одно |
ç |
åxiei ,å y je j ÷ |
cлед=. 2 åç |
÷ |
||||||
|
è i=1 |
j=1 |
ø |
из аксиом i=1 |
è j=1 |
ø |
|
||
n
слагаемое отлично от нуля при j = i ( (ei ,ei ) = 1). Таким образом, (x,y) = åxi yi = x1y1 + ...+ xn yn .
i=1
Достаточность. Пусть базис (I) таков, что "x Î En , "y Î En (x,y) = x1y1 + ...+ xn yn . Для векторов базиса справедливы разложения ei = 0×e1 + ...+1×ei + ...+ 0×e j + ...+ 0×en ,
e j = 0×e1 + ...+ 0×ei + ...+1×e j + ...+ 0×en . В силу этих разложений получим (ei ,ei ) = 1, (ei ,e j )i¹=j 0 , – и базис (I) – ортонормированный.
31.Ортогональные матрицы, их свойства (доказать: Q является ортогональной тогда и только тогда, когда столбцы Q составляют ортонормированную систему).
Определение. Квадратная матрица Q называется ортогональной, если
QT = Q-1 . Пример. В линейном пространстве V2 всех геометрических векторов плоскости матрица линейного оператора поворота на угол q против часовой стрелки имеет вид
æ cosq |
-sin qö |
. Для нее |
QT |
æ cosq |
sin q ö |
= Q-1, и, следовательно, Q |
- ортогональная матрица. |
|
Q = ç |
÷ |
= ç |
|
÷ |
||||
è sin q |
cosq ø |
|
|
è |
-sin q |
cosθ ø |
|
|
Утверждение. Квадратная матрица Q является ортогональной тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют ортонормированную систему арифметических векторов. Доказательство.
Необходимость. Пусть Q = |
|
|
|
aij |
|
|
|
, |
i, j = 1,...,n , Q ортогональна.Имеем |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
æ a11 |
|
a12 |
... |
a1n ö |
|
|
|
æ a11 |
|
a21 |
... |
an1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ç a |
|
a |
... |
a |
÷ |
, |
QT |
ç a |
|
a |
... |
a |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Q = ç 21 |
|
22 |
... |
2n ÷ |
= ç 12 |
22 |
... |
n2 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç ... |
|
... |
... |
÷ |
|
|
|
ç ... ... |
... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
|
an2 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
a2n |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
è an1 |
|
... |
ann ø |
|
|
|
è a1n |
|
... |
ann ø |
|||||||||||||||||||
В соответствии с правилом умножения матриц QQT = |
|
|
|
dij |
|
|
|
, i, j = 1,...,n , где |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
d |
= a a |
|
+ a |
a |
j2 |
+ ..+ a |
a |
jn |
.(13.8) Так как Q ортогональна, то QQT = E , и, следовательно, |
|||||||||||||||||||||
ij |
i1 j1 |
i2 |
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ì |
i = j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dij |
1, |
(13.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= í |
i ¹ j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
î0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Равенства (13.8) и (13.9) означают, что строки матрицы Q , рассматриваемые как арифметические
n-мерные векторы, составляют ортонормированную систему, необходимость тем самым доказана. До статочность. Пусть строки матрицы Q составляют ортонормированную
систему арифметических векторов. Тогда в соответствии с введенными выше обозначениями (см.
|
|
ì |
i = j, |
|
|
|
|
|
(13.8)) dij |
= |
1, |
Но это означает, что |
QQT = E |
и, следовательно, Q-1 = QT |
(в силу |
||
í |
i ¹ |
|
||||||
|
(13.8) |
î0, |
j. |
|
|
|
|
|
единственности обратной матрицы) и Q ортогональна.
32.Ортогональные матрицы, их свойства (доказать: матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису является ортогональной).
Определение. Квадратная матрица Q называется ортогональной, если QT = Q-1 . Пример. В
линейном пространстве V2 |
всех геометрических векторов плоскости матрица линейного |
|||||
оператора поворота на угол q против часовой стрелки имеет вид |
|
|||||
æ cosq |
-sin qö |
|
æ cosq |
sin q ö |
= Q-1, и, следовательно, Q |
- ортогональная матрица. |
Q = ç |
÷ |
. Для нее QT = ç |
÷ |
|||
è sin q |
cosq ø |
|
è -sin q |
cosθ ø |
|
|
Утверждение. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной. Доказательство.
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
Пусть e1,...,en |
(I) и e1 |
,...,en (II) – два ортонормированных базиса в En . Q = |
|
aij |
|
, |
i, j = 1,...,n , - |
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица перехода от (I) к (II). В соответствии с определением матрицы перехода от базиса к базису справедливо равенство
æ e1¢ |
ö |
æ a11 |
|
çe¢ |
÷ |
ç a |
|
ç |
2 |
÷ |
= ç 12 |
ç |
... ÷ |
ç ... |
|
çe¢ |
÷ |
ç a |
|
è |
n |
ø |
è 1n |
a12 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
a1n an2
...
ann
ö |
æ e1 |
ö |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
÷ |
×çe2 |
÷ |
, |
÷ |
ç ... ÷ |
|
|
÷ |
ç |
÷ |
|
ø |
èen |
ø |
|
Или ei¢ = a1ie1 + a2ie2 + ..+ anien , i = 1,...,n .(13.10)
|
|
|
ì |
i = j, |
|
Так как (II) – ортонормированный базис, то |
1, |
Используя (13.10), получаем |
|||
ei¢ ×e¢j = í |
i ¹ j. |
||||
|
|
|
î0, |
|
|
ì1, |
i = j, |
а это означает, что столбцы матрицы Q составляют |
|||
ei¢ ×e¢j = a1ia1 j + a2ia2 j + ..+ anianj = í |
i ¹ j, |
||||
î0, |
|
|
|
|
|
ортонормированную систему. Заключаем, что Q - ортогональная матрица.
33.Ортогональные матрицы, их свойства (доказать: если Q ортогональная, то Qт ортогональная).
признак ортогональности - Q -1 = Q Т (Q транспонир) -1 = (Q транспонир) Т= Q
Q*Q -1 = E т.е. Q*QТ= E => (Qтранспонир) -1 = Q
34.Ортогональные операторы в евклидовом пространстве, их свойства.
Определение. Линейный оператор A в евклидовом пространстве En называется ортогональным,
если "x Î En |
(A(x),A(x)) = (x,x) (оператор сохраняет норму любого вектора). |
|||||||||||||||
Теорема. Пусть En - евклидово пространство, |
|
A - ортогональный оператор в En . Тогда "x Î En |
||||||||||||||
"y Î En |
(A(x),A(y)) = (x,y) ( A сохраняет скалярное произведение).Доказательство. Пусть x Î En , |
|||||||||||||||
y Î En , рассмотрим (A(x + y),A(x + y)) .Имеем |
|
|
|
|||||||||||||
(A(x + y), A(x + y)) |
A-линейный |
(A(x) + A(y), A(x) + A(y)) |
аксиома 2 |
|||||||||||||
= |
) |
|
|
= |
||||||||||||
= |
( |
|
|
) |
+ |
( |
|
+ |
( |
) |
+ |
( |
) |
= |
||
|
A(x),A(x) |
|
A(y),A(x) |
|
A(x),A(y) |
|
A(y),A(y) |
|
|
|||||||
аксиома 1+
A-ортогональный
=(x,x) + 2(A(x), A(y)) + (y,y) .(13.11)
С другой стороны,
(A(x + y), A(x + y)) |
A-ортогональный |
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
= |
( |
x + y,x + y |
) |
= |
( |
x,x |
) |
+ 2 |
( |
x,y |
) |
+ y,y |
) . (13.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|||||||
Сравнивая (13.11) и (13.12) заключаем, что (A(x),A(y)) = (x,y) . Теорема доказана. Теорема. Пусть
En - евклидово пространство, |
|
e1,...,en (I) |
|
- ортонормированный базис, A - ортогональный |
||||||||||||||||||||||||
оператор в En . Тогда система векторов |
A |
|
e |
,..., A |
( |
e |
n ) |
(II) - ортонормированный базис. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
( 1 |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Доказательство. Имеем |
( |
A |
|
e |
|
, A |
( |
e |
j )) |
= |
|
( |
e |
,e |
j ) |
= |
ì1, |
i = j, |
и, следовательно, |
A e |
,..., A e |
|
- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
i |
) |
|
|
|
|
i |
|
|
í |
|
|
i |
¹ j, |
|
( 1 |
) |
( |
n ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î0, |
|
|
|
|
|
|
||||
ортонормированная система. Но тогда "k, k = 1,2,...,n, |
A(ek ) ¹ q , и по теореме 2 система (II) |
|||||||||||||||||||||||||||
линейно независима, а так как |
dimEn = n , (II) – базис, и по доказанному – ортонормированный. |
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема доказана. Теорема . Пусть En - евклидово пространство, A - ортогональный оператор в En . Тогда A в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей. Доказательство. Пусть e1,...,en (I) – произвольный ортонормированный базис в En . Тогда система векторов A(e1 ),..., A(en ) (II) – тоже ортонормированный базис (теорема 5).Пусть Q - матрица оператора A в базисе (I).В соответствии с определением матрицы оператора
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/
|
|
( 1 |
) |
|
|
|
æ |
1 ö |
|
|
|
æ A |
e |
ö |
|
|
|
ç |
e |
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
||
(определение 3 в лекции 12) справедливо следующее равенство: |
ç A |
(e2 )÷ |
= Q |
T |
× |
çe2 |
÷ |
и, |
||
ç |
... |
÷ |
|
ç |
... ÷ |
|||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
èç A |
(en )ø÷ |
|
|
|
èen |
ø |
|
||
следовательно, матрица Q является матрицей перехода от базиса (I) к базису (II) . Матрица Q является ортогональной. Теорема доказана.
Created with ReaSoft PDF Printer free trial.
Purchase at http://www.reasoft.com/