Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых и кратных корней характеристического уравнения; случай комплексных корней). Л-1 § 1.16 Л-2 § 2.3

§ 4. Определитель Вронского

Пусть какие-либо (не обязательно линейно независимые) решения однородной системы где -матрица из непрерывных на отрезке функций. Вектор-функции запишем в виде столбцов:

Определителем Вронского (или вронскианом) однородной системы дифференциальных уравнений называется определитель

Этот определитель является функцией от дифференцируемой на интервале

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка

где непрерывные на отрезке функции, и пусть какие-либо (не обязательно линейно независимые) решения этого уравнения. Определителем Вронского (или вронскианом) линейного однородного уравнения называется определитель

Выведем формулу дифференцирования определителя Вронского. Пусть решения системы и соответствующий им определитель Вронского. Тогда

т.е. где Так как решение системы, то поэтому -я строка матрицы определителя равна

Следовательно,

(в этой сумме все определители, кроме -го, равны 0, так как содержат одинаковые строки). Итак, Следовательно, Сумма диагональных элементов матрицы называется следом и обозначается Таким образом, Отсюда следует, что Решая это дифференциальное уравнение, получим: Константу можно найти, взяв Мы получим: Отсюда следует формула Лиувилля:

Так как никогда не обращается в 0, то мы получаем следующее свойство вронскиана: если определитель Вронского равен нулю в какой-нибудь точке, то он тождественно равен нулю:

Формулу Лиувилля для однородного уравнения

нетрудно получить, сведя уравнение к системе. В этом случае матрица системы имеет вид

Её след поэтому

Так же, как и в случае систем, определитель Вронского однородного уравнения либо не обращается в нуль ни в одной точке, либо тождественно равен нулю.

С помощью определителя Вронского можно определять, является ли данная система решений фундаментальной системой решений.

Теорема. Решения однородной системы дифференциальных уравнений является её фундаментальной системой решений в том и только том случае, если

Доказательство. Если не является фундаментальной системой решений, то функции линейно зависимы, поэтому для некоторых констант , не все из которых равны нулю. Следовательно, столбцы определителя Вронского линейно зависимы, а значит,

Наоборот, пусть Возьмём какое-нибудь Тогда мы получим линейно зависимые векторы Следовательно, для некоторых констант среди которых есть ненулевые. Функция является решением системы и удовлетворяет начальному условию Ввиду единственности решения а это означает линейную зависимость функций Следовательно, эти функции не образуют фундаментальную систему решений.

Аналогичный результат имеет место для однородных уравнений п-го порядка:

Теорема. Функции являющиеся решением уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения в том и только том случае, если

§ 5. Метод вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем

Рассмотрим теперь неоднородные уравнения и системы. Мы покажем, что если известны решения однородной системы то для любой вектор-функции можно получить решения неоднородной системы методом вариации постоянных так же, как это делалось для линейного неоднородного уравнения первого порядка. Аналогично этому, зная общее решение однородного уравнения -го порядка этим методом можно получить все решения неоднородного уравнения

Пусть фундаментальная система решений однородной системы Тогда общее решение однородной системы имеет вид где постоянные. Будем искать решение неоднородной системы в виде

(10)

Продифференцируем это равенство: Потребуем, чтобы функция удовлетворяла системе Получим:

(11)

Так как решение однородной системы, то поэтому из равенства (11) после сокращения мы получим: Это векторное равенство можно переписать в виде системы линейных уравнений относительно

(12)

Определитель этой системы – это определитель Вронского Так как фундаментальная система решений, то не равен нулю ни в одной точке отрезка Следовательно, система (11) разрешима для любой точки Таким образом, на всём отрезке существуют непрерывные функции После нахождения этих функций функции можно будет найти простым интегрированием. Подставив найденные функции в формулу (10), мы получим решение неоднородной системы.

Замечание. Только что описанным способом будут получены все решения неоднородной системы, хотя достаточно найти хотя бы одно (частное) решение.

Опишем теперь метод вариации постоянных для неоднородных уравнений. Пусть дано уравнение

(13)

Предположим, что известна фундаментальная система решений однородного уравнения

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид где постоянные. Будем искать решение неоднородного уравнения в том же самом виде, но рассматривая как функции

(14)

Число искомых функций равно n-порядку дифференциального уравнения, а удовлетворить следует только одному уравнению (13). Поэтому при выборе функции на них можно наложить произвольных условий. Найдём производную:

Будет искать таким образом, чтобы эта производная имела бы такой же вид, как и при постоянных . То есть потребуем выполнения условия

Таким образом,

Продифференцируем ещё раз: Пусть и вторая производная выглядит также, как и при постоянных . Для этого наложим второе условие

Будем далее дифференцировать и накладывать на производные условия (15) до

. (15_n-1)

После этого будем иметь Продифференцируем последний раз: На n-ю производную мы уже не можем наложить условие (15), т.к. последняя n-я связь для должна быть получена при подстановке в исходное дифференциальное уравнение. Подставим в уравнение (13):

Так как решения однородной системы, то в левой части равенства сумма всех слагаемых с равна нулю, и мы получаем только слагаемые с следовательно,

Уравнения образуют систему линейных уравнений относительно

(16)

Определитель этой системы является определителем Вронского , а так как функции образуют фундаментальную систему решений, то (ни в одной точке отрезка . Следовательно, система (16) имеет решение, состоящее из функций непрерывных на отрезке , которые можно найти, например, по правилу Крамера . Функции могут быть теперь найдены интегрированием. Подставив полученные функции в формулу (14), мы получим общее решение неоднородного уравнения.