ЛиналБилеты
.docxВопросы к экзамену по линейной алгебре
МП-1А
-
Поле. Примеры полей. Поле остатков от деления на p.
-
Линейное пространство над полем. Его простейшие свойства.
-
Линейно зависимые и независимые системы векторов. Их свойства.
-
Полные системы векторов. Их свойства.
-
Базис линейного пространства. Единственность разложения по базису.
-
Лемма Штейница и следствия из нее. Размерность линейного пространства.
-
Подпространство линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств.
-
Линейная оболочка совокупности векторов.
-
Размерность суммы подпространств.
-
Подстановки. Количество инверсий. Транспозиции. Обратная подстановка.
-
Операции над матрицами. Ассоциативность произведения матриц.
-
Определитель. Неизменность определителя при транспонировании матрицы. Линейность определителя.
-
Перестановка строк (столбцов) определителя. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами).
-
Определитель блочной матрицы.
-
Разложение определителя по строке (столбцу).
-
Определитель произведения матриц.
-
Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
-
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
-
Обратная матрица: единственность, условие существования, методы вычисления.
-
Правило Крамера.
-
Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Связь решений однородной системы с решениями неоднородной.
-
Фундаментальная система решений однородной системы.
-
Переход к другому базису в линейном пространстве.
-
Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза.
-
Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
-
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение.
-
Свойство собственных векторов линейного оператора.
-
Условие приведения матрицы к диагональному виду.
-
Евклидовы и унитарные пространства. Неравенство Шварца. Геометрия евклидовых пространств.
-
Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
-
Ортогональные матрицы.
-
Симметрические (самосопряженные) операторы. Свойства их матриц.
-
Свойства собственных значений и собственных векторов симметрического оператора. Существование для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственных векторов.
-
Линейные, билинейные и квадратичные формы.
-
Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы при изменении базиса.
-
Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.
-
Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
БИЛЕТ 1. Поле. Примеры полей. Поле остатков от деления на p.
Определение поля:
Элементы поля принято называть скалярами.
Примеры полей:
Множество натуральных чисел полем не является, так как в нем не выполняется 9 аксиома.
Свойства поля:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
.
Сравнение по модулю p:
Множество остатков от деления на p:
Поле остатков от деления на p:
Доказательство:
БИЛЕТ 2. Линейное пространство над полем. Его простейшие свойства.
Определение линейного пространства:
Простейшие свойства линейного пространства:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
.
БИЛЕТ 3. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Их свойства.
Определение линейной комбинации векторов:
Определение линейно зависимой системы векторов:
Определение линейно независимой системы векторов:
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов:
Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.
Доказательство:
1) Необходимость:
Пусть элементы
2) Достаточность:
Теорема доказана.
Свойства (следствия):
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
БИЛЕТ 4. Полные системы векторов. Их свойства.
Определение полной системы векторов:
Свойства:
Доказательство:
Доказательство:
БИЛЕТ 5. Базис линейного пространства. Единственность разложения по базису.
Определение базиса линейного пространства:
Единственность разложения по базису:
Доказательство:
БИЛЕТ 6. Лемма Штейница и следствия из нее. Размерность линейного пространства.
Лемма Штейница о замене:
Доказательство:
Следствия:
Доказательство:
Доказательство:
Размерность линейного пространства:
БИЛЕТ 7. Подпространство линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств.
Определение подпространства линейного пространства:
Замечание:
Доказательство:
Определения суммы и пересечения подпространств:
Свойства суммы и пересечения подпространств:
Доказательство:
Доказательство:
БИЛЕТ 8. Линейная оболочка совокупности векторов.
Определение линейной оболочки:
Свойства:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
БИЛЕТ 9. Размерность суммы подпространств.
Теорема:
Доказательство:
БИЛЕТ 10. Подстановки. Количество инверсий. Транспозиции. Обратная подстановка.
Определение подстановки:
Основные понятия:
Определение инверсий, количества инверсий и транспозиции:
Свойства транспозиции:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство: