линал

выполняться тождественно (как равенство между векторами в V ). Следовательно, допущение, что линейная комбинация векторов e1,e2,...,en+1 с коэффициентами l1,l2,...,ln+1 равна нулевому

вектору q , влечет l1 = l2 = ... = ln+1 = 0 , а это означает, что e1,e2,...,en+1 линейно независимы. Пусть Pn (x) = a0 + a1x + ...+ an xn - произвольный многочлен степени £ n . В последней записи Pn (x) представлен в виде линейной комбинации векторов e1,e2,...,en+1 , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система e1,e2,...,en+1 - базис в пространстве многочленов степени £ n

15.Базис линейного пространства. Единственность разложения вектора по базису.

Определение. Система векторов e1,e2,...,en линейного пространства V называется базисом в V , если: 1) e1,e2,...,en линейно независима; 2) "x Î V $l1,l2,...,ln (вещественные числа):

x = l1e1 + l2e2 + ...+ lnen .Правая часть равенства называется разложением вектора x по базису

e1,e2,...,en , а числа l1,l2,...,ln - координатами вектора x в базисе e1,e2,...,en . Теорема. Пусть V -

16.Базис линейного пространства. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

Определение. Система векторов e1,e2,...,en линейного пространства V называется базисом в V ,

и являются координатами вектора d1 + d2 .Пусть k – произвольное вещественное число, d1 – вектор, введенный выше. Рассмотрим вектор k d1 . Имеем k d1 = k (l1a + m1b + n1c) .

Используя свойство 3, а затем 5 умножения вектора на число, получим

k d1 = k (l1a) + k (m1b) + k (n1c) = (kl1 )a + (km1 )b + (kn1 )c .Используя теорему о единственности разложения вектора по базису, придем к тому, что числа (kl1 ) (km1 ) и (kn1 ) – координаты вектора k d1 относительно базиса a , b , c . Теорема доказана.

Created with ReaSoft PDF Printer free trial.

Purchase at http://www.reasoft.com/

17.Размерность линейного пространства.

Теорема. Пусть V - линейное пространство, e1,e2,...,en - базис в V . Всякая система s векторов x1,x2,...,xs при s > n линейно зависима. Доказательство. Достаточно доказать утверждение для s = n +1Пусть x1,x2,...,xn+1 - произвольная система векторов в V .Случай 1. Среди x1,x2,...,xn+1 есть q , следовательно, система x1,x2,...,xn+1 линейно зависима.Слу чай 2. "j, j = 1,..., n +1, x j ¹ q . Так как система e1,e2,...,en - базис, существуют такие aij i = 1,...,n +1, j = 1,...,n , что

x1 = a11e1 + a12e2 + ...+ a1,nen ,

x2 = a21e1 + a22e2 + ...+ a2,nen ,(10.4)

……………………………………

xn+1 = an+1,1e1 + an+1,2e2 + ...+ an+1,nen .

Среди чисел a11,a12,...,a1,n есть отличные от нуля (иначе x1 = q ). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что a11 ¹ 0 (в противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно,

Подставив (10.5) во все равенства (10.4), начиная со второго, получим

x2 = b21x1 + b22e2 + ...+ b2,nen ,

……………………………………(10.6)

xn+1 = bn+1,1x1 + bn+1,2e2 + ...+ bn+1,nen .

Векторы x2,..,xn+1 линейно выражаются через x1,e2,...,en . Если в первом равенстве в системе (10.6) b22 = b23 = ... = b2,n = 0 , то x2 = b21x1 , и система векторов x1,x2 линейно зависима. Тогда, согласно теореме 2, система векторов x1,x2,...,xn+1 также линейно зависима. Если же среди b22,b23,...,b2,n есть отличные от нуля, то, не ограничивая общности рассуждений, считаем, что b22 ¹ 0 .

Из первого равенства в (10.6) имеем

Подставим (10.7) во все равенства (10.6), начиная со второго, получим выражения x3,..,xn+1 через

x1,x2,e3,...,en . Процедуру повторим n - 2 раза и придем к равенству xn+1 = g1x1 + g2x2 + ...+ gnxn . Один из векторов системы x1,x2,...,xn+1 оказался линейной комбинацией остальных, следовательно,

x1,x2,...,xn+1 линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствие. Все базисы линейного пространства V состоят из одного и того же числа векторов. Действительно, пусть e1,e2,...,en (I) и e1¢ ,e¢2,...,e¢s (II) - два базиса в V . Допустим, s > n . Так как

система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда s £ n . Допустим теперь, что n > s . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, n £ s . Вместе эти два заключения дают s = n . Определение. Число векторов в любом базисе линейного пространства V называется размерностью линейного пространства.Для размерности линейного пространства V принято обозначение dim V .

Created with ReaSoft PDF Printer free trial.

Purchase at http://www.reasoft.com/

e¢2 = t12e1 + t22e2 + ...+ tn2en

……………………………….(11.1)

e¢n = t1,ne1 + t2,ne2 + ...+ tnnen

Определение 1. Матрица T = tij , i, j = 1,...,n называется матрицей перехода от базиса (I) к базису (II). Замечание1 . Столбцы матрицы перехода T = tij , i, j = 1,...,n , являются координатами в

разложении векторов e1¢ ,e¢2,...,e¢n по базису (I). Справедливость этого замечания непосредственно следует из равенств (11.1). Замечание2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей. Теорема. Пусть V - линейное пространство, e1,e2,...,en (I) и

= (b1t11 + b2t12 + ...+ bnt1n )e1 + (b1t21 + b2t22 + ...+ bnt2n )e2 + ...+ +(b1tn1 + b2tn2 + ...+ bntnn )en .

По условию x = a1e1 + a2e2 + ...+ anen , используя теорему о единственности разложения вектора по базису, получим

a1 = b1t11 + b2t12 + ...+ bnt1n ,

a2 = b1t21 + b2t22 + ...+ bnt2n ,

……………………………………

an = b1tn1 + b2tn2 + ...+ bntnn ,

19.Линейные подпространства. Примеры.

Определение. Пусть V - линейное пространство. Непустое подмножество L линейного пространства V ( L Í V,L ¹ Æ ) называется линейным подпространством в V , если выполняются

два условия:

1) "x Î L "y Î L (x + y) Î L ;

Created with ReaSoft PDF Printer free trial.

Purchase at http://www.reasoft.com/

2) "x Î L при любом вещественном числе l (lx) Î L .

Пример. Пусть - линейное пространство всех арифметических n -мерных векторов (x1,...,xn ) ; L - совокупность всех векторов, у которых первая и последняя компоненты равны

нулю, т.е. векторов вида (0,x2 ,...,xn-1,0) . L - подпространство в Rn .Действительно, пусть xÎ L и y Î L , следовательно, по определению L x = (0, x2 ,...,xn-1, 0) и y = (0, y2 ,..., yn-1, 0) . По правилу сложения векторов в Rn x + y = (0, x2 + y2 ,..., xn-1 + yn-1,0)Î L и, таким образом, сумма любых двух

векторов из L принадлежит L . Пусть xÎ L и l - произвольное вещественное число. Но x Î Rn (так как L Í Rn ), следовательно, по правилу умножения вектора на число в Rn

lx = (l ×0, lx2 ,...,lxn-1, l ×0) = (0,lx2,lx3,...,0)Î L и вместе с любым вектором произведение его на l тоже принадлежит L . В соответствии с определением 2 это означает, что L - линейное

подпространство в Rn . Замечание. Если L - линейное подпространство в V , то L само является линейным пространством относительно введенных в V операций сложения и умножения на число. Действительно, требования 1) и 2) в определении означают, что в L определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Аксиомы 1 и 2 выполняются в L , так как они имеют место в V . Убедимся в справедливости аксиомы 3.Пусть xÎ L , l = 0 , следовательно, согласно условию 2) 0× x Î L , но по следствию 5 из аксиом в V 0× x = q , таким образом, q Î L и в L справедлива аксиома 3.

Пусть xÎ L , l = -1 . Следовательно, согласно условию 2) (-1)× x Î L , но по следствию 8 из аксиом в V (-1)× x = -x , таким образом, (-x) Î L и в L справедлива аксиома 4.

Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8, следовательно, L - линейное пространство.

Пусть V - произвольное линейное пространство, a1,a2,...,ak - некоторая система векторов в V . Рассмотрим совокупность всех векторов вида l1a1 + l2a2 + ...+ lk ak , где l1,l2,...,lk принимают

всевозможные вещественные значения. Обозначим множество этих векторов

L = {l1a1 + l2a2 + ...+ lk ak }. L называется линейной оболочкой векторов a1,a2,...,ak . L является

подпространством в V .

Действительно, L Í V,L ¹ Æ (так как, например, сами векторы ai , i = 1,...,k , принадлежат L ). Пусть aÎ L , b Î L , следовательно, по определению L $ l1,l2,...,lk ,m1,m2,...,mk такие, что

a = l1a1 + l2a2 + ...+ lk ak , b = m1a1 + m2a2 + ...+ mk ak .

Имеем a + b = (l1 + m1)a1 + (l2 + m2 )a2 + ...+ (lk + mk )ak и (a + b) Î L .

Пусть aÎ L , d - произвольное вещественное число. Имеем

da = d(l1a1 + l2a2 + ...+ lk ak ) = (dl1 )a1 + ...+ (dlk )ak и (da) Î L .

Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и L является линейным подпространством в V .

Говорят, что L порождено системой векторов a1,a2,...,ak или L "натянуто" на систему a1,a2,...,ak . Заметим, что само линейное пространство V может рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса.

20.Линейные операторы, определение и примеры.

Определение. Пусть V - линейное пространство и каждому вектору x , принадлежащему V , поставлен в соответствие вектор y , y Î V . Соответствие A : x ® y называется оператором,

определенным в линейном пространстве V .Принята также запись: y = A(x) . Вектор x называется прообразом, а y - образом при отображении оператором A .Определение. Оператор A ,

определенный в линейном пространстве V , называется линейным, если:

1) "x Î V "y Î V A(x + y) = A(x) + A(y) ; 2) "x Î V "l - вещественного числа A(lx) = lA(x) .

Created with ReaSoft PDF Printer free trial.

Purchase at http://www.reasoft.com/

n

По условию y = y1e1 + ...+ ynen = å yk ek .

k =1

Используя теорему о единственности разложения вектора по базису, получим

n

"k, k = 1...n, yk = åxiaki =x1ak1 + x2ak 2 + ...+ xnakn

i=1

Заметим, что в последнем равенстве числа ak1,ak 2,...,akn - элементы k-й строки матрицы Q . Привлекая правило умножения матриц, равенство запишем в виде

Теорема доказана.

22.Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы.

Определение. Квадратные матрицы B и C называются подобными, если существует невырожденная матрица Q , такая, что C = Q-1BQ . Теорема. Пусть V - линейное пространство,

произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для A . Она имеет вид

характеристическими корнями матрицы A .Теорема. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней. Доказательство. Пусть C = Q-1BQ , Q - невырожденная матрица. Имеем C - lE = Q-1BQ - lE = Q-1BQ - Q-1(lE)Q =

Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни. Теорема доказана. Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней

23.Характеристические корни и собственные значения линейного оператора.

Определение. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора. Определение. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора. Определение. Пусть V - линейное пространство, A - линейный оператор в V . Вектор x ¹ q называется собственным вектором оператора A , если найдется действительное число l такое, что A(x) = lx . Число l называется

собственным значением, соответствующим данному собственному вектору x . Теорема. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора. Пример. Найти

Created with ReaSoft PDF Printer free trial.

Purchase at http://www.reasoft.com/