Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры_1семестр.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.11.2019
Размер:
2.08 Mб
Скачать

26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва

Определение. Множество называется подпространством векторного пространства , если замкнуто относительно всех тех операций, которые введены в , а именно:

1)

2)

иногда 1)-2) заменяют одной общей аксиомой

3)

Если и - два подмножества из векторного пространства , т.е. , то определим

.

Если одно из этих множеств является одноточечным, например , то будем писать . Соответственно, если , то .

Аналогично для умножения. Пусть . Определим подмножество

Если -одноточечное, т.е. , то будем писать , а если , то .

Пример 1. Рассмотрим множества и .

Тогда – открытая правая полуплоскость.

Пример 2. Пусть , тогда , а , следовательно, .

Для того, чтобы определить фактор-пространство, введем векторное подпространство в векторном пространстве Х, т.е. .

Определение. Пусть , будем называть эквивалентными x~y, тогда и только тогда, когда .

Свойства отношения эквивалентности:

  1. симметричность:

,т.е.

  1. рефлексивность:

3) транзитивность:

Класс эквивалентности обозначим

Определение. Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством пространства по подпространству и обозначается

Определим и , таким образом, определили операции над элементами фактор-множества.

Определение. называется фактор-пространством

27. ЛНЗ сис-мы. Базисы. Пример.

Определение. Говорят, что система векторов линейно независима, если из условия, что линейная комбинация . В противном случае система векторов называется линейно зависимой.

Определение: подмножество называется линейно независимым, если для любого конечного числа система линейно независима.

Определение: если в векторном пространстве существует бесконечная линейно независимая система, то векторное пространство называется бесконечномерным, в противном случае существует только лишь конечная система, называемая конечномерным.

Пример: пусть , , , k=0,1,2,…-линейно независимая система и пространство бесконечномерное.

Пример: Х= --мн-во всех мн-нов ВП. .В качестве сис-мы возьмем

. Рассмотрим ЛК . (2) Покажем , что . Продиф-ем (2) раз

Продиф-ем раз

В итоге  сис-ма -ЛНЗ  -ЛНЗ

Определение. Базисом в векторном пространстве называется любое линейно независимое и порождающее множество.

Теорема. В любом векторном пространстве существует алгебраический базис.

28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.

Определение: множество называется порождающим, если линейная оболочка этого множества совпадает с самим множеством, т.е.

Определение. Базисом в векторном пространстве называется любое линейно независимое и порождающее множество.

Теорема (о сущ-нии алг базиса). В любом векторном пространстве существует алгебраический базис.

Если этот базис состоит из счетного числа эл-ментов, то его наз-ют счетномерным. Пр-во с конечным базисом --n-мерное конечномерное пр-во.

Возьмем --мн-во полиномов, степень к-рых не превосходит n.

Размерность любого пр-ва --dimX. dim = n+1.

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]