- •1.Метрические пр-ва. Шары, открытые и закрытые мн-ва.
- •7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
- •8.Сжимающие отобр-я, св-ва
- •9. Принцип неподвижной точки
- •10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- •11.Кольца мн-в и их св-ва
- •12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
- •13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
- •14.Внешняя мера и ее св-ва
- •15.Ступенчатые ф-ции
- •16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
- •17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции
- •18.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
- •20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.
- •22.Тензорное произведение мер
- •23. Теорема о тензорном произведении мер.
- •24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
- •26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
- •28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
- •29.Линейный оператор. Св-ва.
- •30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
11.Кольца мн-в и их св-ва
Определение. Пусть . называется кольцом, если оно обладает сл св-вами:
1) 2)
Кольцо обладает следующими свойствами:
.
т.к.
Кольца, содержащие , называются алгеброй.
Замечание.Если К-кольцо, то К-полукольцо. В силу св-ва 1:
A\BK CK A\B=C
Определение. Пусть S—полукольцо. Через K(s) обозначим множество непересекающихся объединений:
Теорема (о кольце, порожденном полукольцом).
Если S – полукольцо то K(s) – кольцо.
Доказательство.
Пусть ,
где
Рассмотрим и покажем, что
I.
Покажем, что
Будем доказывать методом математической индукции (индукцию проводим по ):
Если , то : , где
Пусть наше утверждение верно при , т.е. . Покажем, что оно справедливо и для : , тогда можно записать:
Таким образом, доказали, что из справедливо:
II. Рассмотрим
Т.о. показали, что
Тогда
Мы доказали, что и
-- кольцо.
12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
Пусть мера задана на полукольце , тогда мера единственным образом распространяется на порождаемое кольцо К( ), а именно
(1)
Д-во:
Для возьмем , тогда ,
где - распространение (расширение) прежней меры
Если , то по (1) получаем
(2)
Определение, которое дается формулой (1), корректно, т.к. правые части (1) и (2) равны. Проверим это.
Введем обозначение , . Части не пересекаются.
Рассмотрим
Рассмотрим правую часть (1), т.е.
Таким образом, мы доказали, что правые части (1) и (2) равны.
Будем говорить, что - мера на кольце K(S). Докажем, что эта мера неотрицательна и аддитивна.
Доказательство.
То, что она неотрицательна из (1) как сумма неотрицательных чисел,
Докажем это.
Т.к. по условию , то их части тоже не пересекаются, т.е.
т.е. - мера на кольце (является расширением первоначальной меры на ).
13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
, где Х—произвольное мн-во.
Определение. Мера , заданная на , называется - аддитивной, если ; причем , то .
, возьмем точку и определим меру :
Тогда называется атамарной мерой, сосредоточенной в точке .
Покажем, что это мера. Проверим аксиомы.
Неотрицательность следует из определения, т.е.
Проверим выполнение условия аддитивности.
Докажем, что
Пусть , тогда или .
Пусть , тогда и . В противном случае получаем и или .
, тогда , но , значит, т.к. , то и , то .
является мерой.
Пусть .Докажем, что -аддитивная мера.
Для доказательства необходимо рассмотреть два случая:
1)
верно равенство
2)
верно равенство
Доказали, что любая атамарная мера является -аддитивной мерой.