20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.

Определение. Функция называется интегрируемой (по Лебегу), если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций, которые равномерно сходятся к функции : на .

Совокупность всех интегрируемых функций обозначается .

Свойства интегрируемых функций.

1. , :

.

2.

, на .

3. , то есть .

4.

Определение. Интегралом Лебега от интегрируемой функции называется число, обозначаемое

(1)

где - последовательность ступенчатых интегрируемых функций, равномерно сходящихся к функции .

Для доказательства корректности определения интеграла нужно доказать, что существует предел

Обозначим . Необходимо доказать, что - фундаментальная последовательность.

(2)

. Тогда из (2) получим , . Таким образом, .

Это означает, что если последовательность фундаментальная.

Так как полно, то последовательность сходится, следовательно, существует и он конечен, значит определение корректно.

21.Св-ва интеграла лебега

Свойства интеграла Лебега.

1. .

Д-во:

2. .

Д-во. Берем . Для них верно

,а значит 2 док-но.

3. Линейность.

.

4. .

5. Если f  g , т.е. они равны друг другу почти всюду, и существует , то также существует, причем .

Если f  g , т.е. существует . Тогда .

, т.к. интеграл по множеству меры 0 равен 0.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет :

1. f  f(рефлексивность);

2. f  g gf (симметричность)

3. f  g ,gh  fh (транзитивность)

Проверим выполнение условие 3).

f  g , это значит,

gh , это означает,

,т.е.

Отметим, что измеримо,т.к. сумма двух измеримых мн-в образует алгебру.

Поэтому в силу f(x)=g(x) и g(x)=h(x) следует f(x)=h(x).

Совокупность пространств по эквивалентности называется фактор-пространством . Будем называть пр-вом интегрируемых ф-ций на мн-ве Х.

22.Тензорное произведение мер

Напомним, что если есть две функции и , то можно построить тензорное произведение этих функций:

.

Операция называется тензорным произведением.

Определим векторное произведение :

.Аналогично для .

В пр-ве рассмотрим пулокольцо мн-в , а в пр-ве - .

Определим - прямое произведение полуколец и .

Теорема (о прямом произведении полуколец).

Прямое произведение полуколец является полукольцом.

Доказательство.

Пусть - полукольцо подмножеств множества ,

- полукольцо подмножеств множества

Пусть - прямое произведение.

Докажем, что S является полукольцом подмножеств множества .

I. Пусть . Докажем, что .

Т.к. , то можем записать .

Аналогично , где , .

Имеем .

Т.к. - полукольцо, то

Т.к. - полукольцо, то

Тогда .

II. Пусть , где , и , тогда

Получаем, что

В последних равенствах , т.к. .

Следовательно, S является полукольцом.