17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции

Определение. Интегралом от интегрируемой ступенчатой функции называется число, которое обозначается и определяется .

Свойства интеграла.

1.

2.

3.

Интеграл является линейным функционалом.

4.

18.Измеримые ф-ции и их св-ва

Говорят, что последовательность функций , заданных на множестве равномерно сходится к , если

.

В этом случае пишут: .

Будем говорить, что последовательность функций поточечно сходится к функции , если

.

В этом случае пишут: .

Определение. Функция , определенная на множестве , называется измеримой, если существует последовательность ступенчатых функций, которая равномерно сходится к на множестве .

Совокупность всех измеримых функций будем обозначать .

Свойства измеримых функций.

1. Произведение любого числа на измеримую функцию есть измеримая функция, т.е.

.

Действительно, т.к. . Умножим обе части соотношения на , получим . По свойству 1 ступенчатых функций .

2. Сумма двух измеримых функций является измеримой функцией, т.е. .

Действительно, т.к. , то

Суммируя эти соотношения, получаем:

.

По свойству 2 ступенчатых функций .

3. Линейная комбинация измеримых функций является измеримой функцией, т.е.

.

Доказательство следует из свойств 1 и 2.

Это свойство значит, что совокупность всех измеримых функций образует векторное (линейное) пространство над полем .

4. Произведение измеримых функций является измеримой функцией, т.е.

5. Если , то модуль измеримой функции является измеримой функцией, т.е. .

Действительно,

Определение. Пусть функция определим множество - Лебеговское множество.

Замечание. Любая непрерывная ф-ция явл измеримой.

19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.

Определение. Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на множестве , если свойство выполняется. Пример.

, так как в качестве , , если .

Определение. Функции называются эквивалентными, если они почти всюду равны, то есть .

Определение. Последовательность , если .

Теорема (о сходящейся почти всюду последовательности измеримых функций). Если последовательность измеримых функций , то функция измерима.

Для канонической меры: мера любого канонического мн-ва(т.е. точки) равна 0.

Замечание. Пусть --счетное мн-во. Тогда мера всех рациональных точек на прямой будет также равна 0, т.е. (Q)=0, т.к. Q-счетное мн-во.

Рассмотрим Канторово мн-во.

Выбрасываем середину. Имеем [0;1/3]U[2/3;1] . Каждый из [0;1/3] и [2/3;1] делим на 3 части и выбрасываем середину. Получаем 4 отрезка и т.д.

Получили в итоге

--замкнутое ограниченное мн-во. Оно явл-ся компактом. И наз-ся канторовым мн-вом.

Посчитаем меру канторового мн-ва. Для этого посчитаем меру выброшенных интегралов.

Сл-но из отрезка [0;1] длиной 1-0=1 выбросили сумму длин интервалов длиной 1.

По св-ву аддитивности ([0;1])=(M)=(K)(K)=0