- •1.Метрические пр-ва. Шары, открытые и закрытые мн-ва.
- •7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
- •8.Сжимающие отобр-я, св-ва
- •9. Принцип неподвижной точки
- •10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- •11.Кольца мн-в и их св-ва
- •12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
- •13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
- •14.Внешняя мера и ее св-ва
- •15.Ступенчатые ф-ции
- •16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
- •17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции
- •18.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
- •20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.
- •22.Тензорное произведение мер
- •23. Теорема о тензорном произведении мер.
- •24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
- •26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
- •28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
- •29.Линейный оператор. Св-ва.
- •30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
14.Внешняя мера и ее св-ва
Пусть есть мн-во AK, К—алгебра.
Определение. Счетным покрытием множества называется семейство непересекающихся мн-в , таких, что .
Пример.
Пусть , тогда .
Определение. Пусть – произвольное множество, и пусть – алгебра, т.е. , на которой задана аддитивная мера . Тогда внешней мерой множества называется число
.
Отображение называется внешней мерой.
Определение. Множество называется измеримым, если для
- множество измеримых множеств.Отметим, что явл метрикой , т.е.
Любое множество из является измеримым, т.е. если , то оно измеримо.
Доказательство.
Мера наз-ся внешней мерой Лебега на и обозначается .
Упорядоченная тройка (Х, ,) наз-ся пространством с мерой.
Если (Х)=1, то пр-во с мерой наз-ся вероятностным пр-вом. Эл-ты Х –элементарные события, Эл-ты -события.
15.Ступенчатые ф-ции
Ф-ция f:XR-ф-ция заданная на Х.
Ф-ция f, заданная на Х, наз-ся ступенчатой ф-цией, если она принимает не более чем счетное число значений причем прообраз явл-ся измеримым мн-вом для любого n.
Пример. Рассмотрим функцию Дирихле
--измеримо
--также измеримо.
Т.обр ф-ция Дирихле ступенчатая.
Пусть
Примером ступенчатой функции являются характеристические функции .
Совокупность всех ступенчатых функций будем обозначать .
Свойства ступенчатых функций.
Произведение любого числа на ступенчатую функцию есть ступенчатая функция, т.е.
Сумма двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е. .
Доказательство этого очевидно, т.к. если , где и - измеримые множества.
.
.
3. St-векторное пр-во, т.к. выдерживает векторные операции 1.и2.
4. Произведение ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е.
Доказательство аналогично доказательству свойства 2.
.
Отметим, что функция, равная тождественно константе, является ступенчатой.
Из свойств 1 – 4 получаем, что совокупность всех ступенчатых функций является алгеброй над полем .
5. St – алгебра. Она содержит единицу, т.е. 1(х)=1 , xX 1 St, g.f = f.g, т.е. имеет место коммутативность, St – коммутативная алгебра с единицей.(но St не явл. полем)
16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
Определение. Ступенчатая функция называется интегрируемой, если ряд , т.е. сходится.
Это означает абсолютную сходимость ряда .
Если ступенчатая функция интегрируема, то модуль ее интегрируем.
- множество интегрируемых ступенчатых функций.
Свойства интегрируемых ступенчатых функций.
1. Произведение любого числа на интегрируемую ступенчатую функцию есть интегрируемая ступенчатая функция, т.е.
.
2. Сумма двух интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е. .
Действительно,
3. Линейная комбинация интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е.
.
Это свойство значит, что совокупность всех интегрируемых ступенчатых функций образует векторное (линейное) пространство над полем .