- •1.Метрические пр-ва. Шары, открытые и закрытые мн-ва.
- •7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
- •8.Сжимающие отобр-я, св-ва
- •9. Принцип неподвижной точки
- •10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- •11.Кольца мн-в и их св-ва
- •12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
- •13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
- •14.Внешняя мера и ее св-ва
- •15.Ступенчатые ф-ции
- •16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
- •17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции
- •18.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
- •20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.
- •22.Тензорное произведение мер
- •23. Теорема о тензорном произведении мер.
- •24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
- •26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
- •28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
- •29.Линейный оператор. Св-ва.
- •30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
Рассмотрим два метрические пространства с метриками и соответственно.
Введем отображение .
- образ элемента при отображении .
Определение. Отображение называется непрерывным в точке , если
Шар для , шар для .
Определение можно переписать следующим образом:
Теорема (об эквивалентном условии непрерывности).
Для того чтобы отображение было непрерывным в точке необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности , сходящейся к при : .
Если отображение непрерывно в каждой точке , то говорят, что отображение непрерывно на всем пространстве и называется непрерывным отображением.
Множество всех непрерывных отображений из в обозначим .
Теорема (о непрерывности композиции).
Пусть непрерывные отображения , , где – метрические пространства. Тогда композиция отображений (которая определяется следующим образом ) является непрерывным отображением .
(Кратко: композиция непрерывных отображений является непрерывным отображением).
Доказательство.
Возьмем произвольное
и пусть последовательность , тогда, применяя теорему об эквивалентных условиях непрерывности, получаем . Еще раз применяя эту теорему, получаем, что . Это значит, что (3)
И снова применяя предыдущую теорему, получаем, что непрерывно в , т.е. композиция непрерывна в точке . А т.к. точка была выбрана произвольно из множества , то отображение является непрерывным.
8.Сжимающие отобр-я, св-ва
Будем рассматривать отображение F:XY с метрикой .
Определение. Отображение F:XY , где X и Y метрические пр-ва, называется сжимающим отображением (отображением сжатия), если существует число , что выполняется неравенство:
(*)
Св-во сжимающих отобр-ий.
Любое сжимающее отображение непрерывно.
Д-во.Для этого выберем произвольную точку . Полагая , из соотношения (*) получаем: (1).
. Тогда по заданному можно построить такое, что ( . Т.к. , то .
Таким образом,
). А это значит по определению, что отображение непрерывно в точке .
Т.к. точка была выбрана произвольно из , то отображение непрерывно на всем пространстве.
Таким образом, любое сжимающее отображение непрерывно.
Определение. Если имеем отображение , то точка называется неподвижной точкой отображения, если .
Теорема (о единственности неподвижной точки у сжимающего отображения).
Пусть - сжимающее отображение, , тогда в отображении не может быть более одной неподвижной точки.
Доказательство.
Пусть существует хотя бы две неподвижные точки у отображения .
Если ,
тогда
Следовательно, (2)
Т.к. , то .
Неравенство (2) сокращаем на и получаем, , что противоречит .