Упругость и изгиб

Упругими деформациями называются такие, которые после снятия приложенных напряжений исчезают.

Материалы, в которых при данных напряжениях возникают упругие деформации, называются упругими материалами.

Почти все твёрдые тела (горные породы) при относительно низких температурах и давлениях и не слишком высоких напряжениях являются упругими.

Упругие деформации в твёрдых телах прямо пропорциональны приложенным напряжениям.

Изотропными материалами называются такие, у которых упругие свойства не зависят от направления.

При высоких уровнях напряжений и температур в породах проявляются отклонения от упругого поведения.

При низких температурах и всесторонних давлениях породы проявляют хрупкие свойства и при значительных девиаторных напряжениях разрушаются.

В недрах Земли, где всестороннее давление растёт с глубиной и когда оно достигает предела хрупкого разрушения, в породе возникают пластические деформации.

Пластическими называют непрерывные, необратимые деформации, происходящие без разрушения.

При этом, после того, как действие силы, вызывающей пластическую деформацию прекращается, деформация частично сохраняется (не исчезает полностью).

Соотношения линейной теории упругости

Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления.

В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:

_G)_   _ _, (3.1)

_ _ (G _  _, (3.2)

_ _ _  G _ (3.3)

где упругие модули  и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе.

Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации  возникает напряжение G) в том же направлении и напряжения  в других взаимно перпендикулярных направлениях:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10 – 100 ГПа) и  (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.1 – 0.4)- материальные параметры среды.

Главная компонента напряжения  создаёт деформацию  в направлении своего действия и деформации  в двух других взаимно перпендикулярных направлениях.

Упругие свойства среды характеризуют, задавая  и G или  и . Эти параметры не являются независимыми.

Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, _. _ = _ = 0 , тогда

(3.7)

Отсюда видно, что напряжение _ вызывает не только деформацию _ в направлении своего действия, но и деформации в перпендикулярных направлениях _ и _.

Если _ - напряжение сжатия, то _ - укорочение, а _ и _ - удлинения.

Эти деформации показаны на рис. 3.2, (Рис.3.2. Деформация под действием одноосного сжатия), где элементxyz стал короче в направлении оси , но толще в направлении осей х и z.

В соответствии с равенствами (3.4)- (3.6) мы можем написать:

(3.8)

Сравнивая это равенство с (3.7), получаем:

(3.9)

Из (3.1) и (3.7) находим

, (3.10)

совместно с (3.8) для модуля Юнга получаем:

(3.11)

С помощью (3.9) (3.11) выражаем  и G через  и :

(3.12)

(3.13)

В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение (3.8) превращается в закон Гука:

_   _ (3.14)

Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.

Относительное изменение объёма (дилатация ) определяется в этом случае выражением:

    _  _  _1 -  (3.15)

Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях.

Из выражения (3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения.

Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии  должно быть равно ½. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.

Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, _.Тогда (3.1)- (3.3.) дают

_   G_ (3.19)

(3.20)

а (3.4)-(3.6) упрощаются следующим образом:

(3.21)

(3.22)

Плоское напряжённое состояние. Возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, _  _   _ . (Рис.3.5. Плоское напряжённое состояние). Тонкая пластина нагружена с боков. Определим компоненты деформации (3.4) –(3.6)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация , например, ₃  . На рис. 3.7. (Пример плоской деформации) длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения ₁и _.

(3.1) - (3.3) в этом случае становятся: _    G)_  _.