6. Геометрические величины гидродинамики.

Смоченный периметр - периметр живого сечения, по которому периметр ЖС соприкасается со с ограничивающими стенками (для течения жидкости в кольцевом канале, образованном концентрически расположенными трубами)

   (D + d);

D и d - диаметры концентрически расположенных труб.

Гидравлический радиус - отношение площади ЖС потока к смоченному периметру:

.

7. Баланс механической энергии.

Для любого сечения потока жидкости полная механическая энергия складывается из потенциальной Мgz, кинетической Mv²/2 и энергии упругого состояния рV, где М - масса элемента жидкости, g - ускорение свободного падения, v - скорость этого элемента, V = M/р объём элемента. Отнеся все составляющие к единице веса, получим выражение для удельной энергии:

Помимо указанных составляющих энергия в общем случае затрачивается на преодоление сил сопротивления, обусловленных внутренним трением, удельную величину которой обозначим h_c.

Если теперь мы воспользуемся законом сохранения энергии двух сечений потока, то получим:

Если силы сопротивления отсутствуют, т.е. h_c = 0, это выражение соответствует уравнению Бернулли для неустановившегося потока несжимаемой вязкой жидкости:

где z - геометрический напор; v²/2g - скоростной напор; p/ - пьезометрический напор.

Для течения жидкости при наличии сил трения потери на сопротивление определяются по формуле

Для течения жидкости в горизонтальном трубопроводе постоянного сечения z₁ = z₂, v₁ = v₂, имеем

Используя гипотезу о пропорциональности сил сопротивления квадрату средней скорости потока, получим выражение

,

где  - безразмерный коэффициент сопротивления; D - расстояние между сечениями трубопровода; d - диаметр трубопровода.

Таким образом, потери давления между двумя сечениями установившегося течения жидкости при наличии сил трения в горизонтальном круглом трубопроводе определяются по формуле Дарси-Вейсбаха

.

Чтобы использовать формулу Дарси-Вейсбаха в практических расчётах, необходимо знать коэффициент сопротивления , который зависит:

• от характера течения жидкости;

• от свойств жидкости;

• от геометрических характеристик потока;

• от состояния трубопровода (шероховатости) и т.д.

8. Понятие ламинарного и турбулентного режима движения.

Течение в круглой трубе, при котором жидкость движется параллельно круглым стенкам слоями, и струи её не смешиваются друг с другом, называется слоистым или ламинарным.

При увеличении скорости возникает перемешивание движущихся слоёв жидкости, которое всё более интенсифицируется с ростом скорости. Такое течение называется турбулентным или возмущённым.

Основное отличие турбулентного режима течения от ламинарного - наличие пульсаций скорости во всех направлениях потока, вследствие которого происходит интенсивное перемешивание жидкости в потоке. Турбулентное течение всегда НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ, даже если оно происходит под действием постоянного перепада давления в трубе.

9. Течение вязкопластичных жидкостей.

В начальный момент времени жидкость остаётся неподвижной, до тех пор, пока касательные напряжения не превысят предел текучести ₀. После того, как будет достигнут необходимый перепад давления, достаточный для преодоления сил пластичности, жидкость начнёт перемещаться, сохраняя неподвижным ядро потока радиусом r₀ , на границах ядра касательные напряжения равны, в пристенной зоне наблюдается сдвиговое течение в ламинарном режиме. Такое течение называется СТРУКТУРНЫМ. После того, как перепад давления достигнет определённой величины, ядро потока исчезает, поток некоторое время движется ламинарно, а затем переходит в турбулентный режим движения.

10. Общий случай течения несжимаемой вязкой жидкости (система уравнений Навье-Стокса + уравнение неразрывности).

В общем случае течение несжимаемой вязкой жидкости описывается системой уравнений, основывающихся на втором законе Ньютона и неразрывности потока, которые в прямоугольной системе координат имеют следующий вид:

В уравнениях Навье-Стокса первые члены отражают действие сил ИНЕРЦИИ, вторые - МАССОВОЙ (весовой) СИЛЫ ТЯЖЕСТИ, третьи - ДАВЛЕНИЯ, четвёртые - СИЛЫ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ на элементарный объём движущейся несжимаемой вязкой жидкости.

11. Течение между двумя безграничными горизонтальными пластинами, находящимися на расстоянии 2h , т.е. -h  x  h при установившемся ламинарном течении имеем:

,

или, принимая во внимание конечность перепада давления на некоторой длине L,

Используя граничное условие ПРИЛИПАНИЯ жидкости к твёрдым стенкам v = 0 при х = -h и Х = h , после интегрирования получаем

что означает, что РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ  ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ, с МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ НА ОСИ ПОТОКА при у = 0:

При этом ОБЪЁМНЫЙ РАСХОД определяется по формуле

а СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

Таким образом, для плоской щели при ламинарном течении вязкой несжимаемой жидкости расход при постоянном перепаде давления пропорционален кубу расстояния между плоскостями, или потери давления при постоянном расходе обратно пропорциональны кубу расстояния между плоскостями.

12. Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе (d = 2R).

т.е. для цилиндрической круглой трубы расход пропорционален четвёртой степени радиуса и потери давления РАСТУТ с уменьшением радиуса по закону четвёртой степени. Таким образом, имеем формулу Гагена-Пуазейля:

.

13. Критерий Рейнольдса.

Используя формулы Дарси-Вейсбаха и Гагена-Пуазейля можно определить величину коэффициента сопротивления  для несжимаемой вязкой жидкости при ламинарном течении:

или  = 64/Re,

где - безразмерный параметр, называемый числом или критерием Рейнольдса.

Приведённая формула для расчёта коэффициента сопротивления  справедлива в области значений Re < 2300, в которой течение для несжимаемой вязкой жидкости считается ламинарным. При дальнейшем росте числа Re режим течения переходит в турбулентный, то есть критерий Рейнольдса можно считать критерием оценки режима течения.

14. Ламинарное течение вязкопластичных жидкостей в цилиндрической круглой трубе. Картина распределения здесь более сложная:

,

где r₀ - радиус ядра потока при структурном течении, определяемом из условия r₀ = 4L₀/.p.

Максимальная скорость потока, то есть скорость ядра, определяется по формуле

,

а объёмный расход вычисляется по формуле Букингема

,

соответственно

Если вместе с выражением для средней скорости воспользоваться формулой Дарси-Вейсбаха, то получим для безразмерного коэффициента сопротивления выражение:

откуда видно, что  невозможно определить, не зная значение р.

В общем случае значение для вязкопластичной жидкости может определяться по формуле:

,

где ₀dv_ср = Sen - безразмерный параметр, называемый критерием Сен-ВенанаИльюшина, характеризующий эффект пластичности жидкости. Вид функции  аналитически определить затруднительно, но для практических расчётов можно использовать формулу, дающую незначительную погрешность в области малых скоростей сдвига:

,

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что

где безразмерная величина Re представляет собой ОТНОШЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ К СИЛАМ ПЛАСТИЧНОСТИ.

Для определения значения  по значениям чисел Рейнольдса и Сен-Венана  Ильюшина существуют НОМОГРАММЫ.

Для упрощенных расчётов (для целей бурения) величину  можно определять по формуле    Re^:

где Re^ - обобщённый параметр Рейнольдса, который в этом случае не является критерием для оценки вида течения (для этих целей в данном случае необходимо знать параметр Сен-Венана):

15. Формулы для определения коэффициента сопротивления при различных условиях течения.

• турбулентный режим течения (круглая цилиндрическая труба), Re = 2500 - 7000: (формула Блазиуса)

;

• глинистые и цементные растворы Re = 2500 - 40 000 (формула Мительмана Б.И.):

;

• глинистые и цементные растворы Re = 2500 - 50 000 (формула Шищенко Р.И., Ибатулова К.А.):

,

при значениях Re > 50 000 коэффициент сопротивления может быть принят постоянным и равным 0.02.

• ламинарное течение в трубах аномально вязких систем (псевдопластичные жидкости) ф. У. Уилкинсона:

где Re - обобщённый критерий Рейнольдса для псевдопластичных жидкостей; k и n - показатели консистенции и степени для псевдопластичных жидкостей.

• турбулентный режим течения вязкопластичных жидкостей в трубах (аппроксимационная формула Доджа и Метцнера): , где а и - безразмерные коэффициенты, определяемые в зависимости от (см. Басарыгин Ю.М., Будников В.Ф., Булатов А.И. Теория и практика предупреждений осложнений и ремонта скважин при их строительстве и эксплуатации. стр. 106 ).

• течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом коаксиальном канале. (Там же).

16. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ. Для решения ряда гидромеханических задач не удаётся найти аналитического решения, тогда прибегают к экспериментальным методам исследования, обобщая частные случаи на большой класс схожих задач. Для осуществления такого перехода пользуются различными критериями подобия.

• геометрическое подобие. Два цилиндрических круглых трубопровода будут геометрически подобны, если все размеры одного могут быть получены умножением всех размеров имеющегося тела на некоторый постоянный коэффициент.

• кинематическое подобие. Если два потока жидкости имеют геометрически сходственные ограничивающие поверхности и скорости в сходственных точках будут пропорциональны, то такие потоки кинематически подобны.

• динамические подобие. Если для геометрически подобных потоков жидкостей на сходственные элементы действуют пропорциональные силы, то говорят о динамическом подобии.

Наиболее общий подход при использовании теории подобия - анализ дифференциальных уравнений движения, позволяющий определить КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ОБЪЕКТОВ.

Рассмотрим одномерное уравнение Навье-Стокса для подобных объектов 1 и 2:

то для выполнения условий подобия явлений необходимо обеспечить следующее: x₁ = _Lx₂; v_x1= _vv_x2; =  _₂; p₁ = _pp₂; X₁ = _QX₂; ₁  _ ₂,

где _L ,_v,  _, _p, _Q , _  соответственно масштабы подобия длин, скоростей, вязкостей, давлений, сил тяжести, плотности.

Подставляя последние выражения в уравнение Навье-Стокса для объекта 1 и принимая во внимание, что _t _L  _v получаем:

Для того, чтобы явления для объектов 1 и 2 были одинаковыми, необходимо равенство всех коэффициентов для всех членов (тогда уравнение для объекта 1 переходит в уравнение для объекта 2), т.е.

Из полученного условия можно составить три независимых гидромеханических критерия подобия:

Согласно первому критерию, который называется коэффициентом Эйлера или коэффициентом давления, имеем

согласно второму - критерию Рейнольдса , и третьему - критерию Фруда

Следовательно, для полного гидромеханического подобия ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости необходимо равенство Re, Fr, Eu.

В отдельных задачах возможно равенство некоторых критериев. Так, для определения потерь давления в горизонтальной круглой цилиндрической трубе ранее была показана необходимость равенства лишь критерия Рейнольдса, что соответствует одинаковому значению коэффициента сопротивления .

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что критерий Re является отношением сил инерции к силам трения; критерий Fr - сил инерции к силам тяжести, Eu - перепада давления к силам инерции.

Из приведённых критериев можно получить ещё три критерия: - число Стокса, число Лагранжа и гидравлический уклон соответственно.

Все остальные сочетания из соотношений сил инерции, тяжести, трения и перепада давления будут обраными величинами приведённых шести критериев.

Для вязкопластичных жидкостей помимо приведённых критериев подобия имеются условия динамического подобия, обусловленные наличием сил пластичности.

• Отношение сил пластичности к силам вязкости характеризует критерий Сен-Венана-Ильюшина ;

• Сил тяжести к силам пластичности - критерий Стокса ;

• Перепада давления к силам пластичности