Элементы теории деформаций

Деформация (изменение расстояния) между отдельными точками среды - характерная черта движения СС.

Удлинение или укорочение произвольно направленного единичного отрезка , проходящего через точку среды М(х₁,х₂,х₃), вычисляется по формуле

(1.19)

где _i = Cos ( , ) - направляющие косинусы отрезка; _ii - удлинения (укорочения) единичных отрезков, направленных параллельно координатным осям Ох_i ; _ij  _ji (i  j) - изменения первоначально прямых углов, образованных отрезками, направленными параллельно координатным осям Ох_i , Оx_j.

Таким образом, деформация элементарного объёма среды в окрестности точки М полностью определяется шестью величинами _ij , которые называются КОМПОНЕНТАМИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИЙ.

Для малых деформаций ( 1) верны следующие соотношения Коши (в декартовой системе координат):

(i, j = 1,2,3), (1.20)

где u _i- компоненты вектора перемещения в точке М.

Тройка перпендикулярных направлений, где в окрестности точки деформация элемента определяется без изменения прямых углов (_ij = 0, i  j), только удлинением или укорочением _ij = _i , называется ГЛАВНЫМИ ОСЯМИ ДЕФОРМАЦИЙ, а величины _i (i - 1,2,3) - ГЛАВНЫМИ УДЛИНЕНИЯМИ, которые могут быть найдены из следующего соотношения

,

где - символ Кронекера

Коэффициенты этого уравнения не зависят от выбора системы координат, они инвариантны.

Первый коэффициент этого уравнения имеет очень простой геометрический смысл: это относительное изменение объёма в окрестности точки.

. (1.21)

Коэффициенты a и b геометрического смысла не имеют и поэтому не являются характеристикой деформаций.

Характеристикой искажения формы элемента сплошной среды служит инвариантная величина

,

Интенсивность деформаций сдвига

Величины ₁  ₂  ₃  ₂  ₃  ₁ , ₃  ₁  ₂ - называются ГЛАВНЫМИ СДВИГАМИ

  1.08 _max

где _max - наибольший из главных сдвигов.

В произвольной декартовой системе координат величина Г вычисляется по формуле

.(1.22)

Иногда используется величина, которая называется интенсивностью деформации, или приведённой деформацией

.

Для характеристики деформационного состояния служит параметр Надаи

(1.23)

который изменяется от - 1 (при чистом удлинении) до + 1(при чистом укорочении). В случае чистого сдвига он равен 0. При всестороннем расширении или сжатии параметр _ не имеет смысла.

Часто компоненты деформации представляют в следующем виде:

(1.24)

где e_ij - компоненты, характеризующие только деформации сдвига, называются компонентами девиатора деформаций; _ij - символ Кронекера.

Отсюда следует, что компоненты тензора деформации растяжения (сжатия) _ii отличаются от соответствующих компонент девиатора e_ii на 1/3 объёмной деформации, а компоненты деформации сдвига не отличаются, т.е.

Если известны компоненты деформации _ij как функции декартовых координат x_i, то для однозначного определения трёх компонент u_i вектора перемещений из шести соотношений (1.20) НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, чтобы функции _ij удовлетворяли условиям совместимости (ИЛИ НЕРАЗРЫВНОСТИ) деформаций Сен-Венана:

(1.25)

и т.д., всего шесть условий (остальные получаются из выписанных круговой заменой индексов 1  2  3  1).

Таким образом, условия совместимости (1.25) являются уравнениями, связывающими компоненты _ij тензора деформаций.

Для анализа больших деформаций, если главные оси при деформации не поворачиваются, используются НАТУРАЛЬНЫЕ УДЛИНЕНИЯ (укорочения)

где l_i0, l_i - начальные и текущие длины элемента в соответствующих направлениях.

Характерные соотношения для малых деформаций являются справедливыми и для натуральных удлинений.

Если скорость частиц сплошной среды v = (v₁, v₂, v₃), то за бесконечно малый промежуток времени dt среда испытывает бесконечно малую деформацию, определяемую перемещениями u_i = v_idt (i =1, 2, 3).

Компоненты этих деформаций, вычисленные по формулам (1.20), имеют общий множитель dt, разделив на который получаем

(1.26)

где _ij - компоненты тензора скоростей деформаций.

Величины _ij определяют скорости удлинения (укорочения) единичных отрезков в направлениях Ox_i, _ij (i  j) - угловые скорости изменения первоначально прямых углов, составленных единичными отрезками вдоль координатных осей.

Подобно формуле (1.19) скорость удлинения (укорочения) любого единичного отрезка вычисляется по формуле

Аналогично соотношениям (1.21) - (1.23) инвариантами скорости деформации являются:

• скорость относительного объёмного расширения (сжатия)

  ₁₁  ₂₂  ₃₃  ₁  ₂  ₃  divv; (1.28)

• интенсивность скоростей деформации сдвига относительно главных осей

(1.29)

где ₁  ₂ - ₃, ₂  ₃ - ₁ ₃  ₁  ₂ - главные скорости сдвигов (относительно произвольной системы координат Н выражается формулой 1.22);

• параметр Надаи _  _  _  

Компоненты скоростей деформации _ij , как и компоненты деформации _ij не могут быть произвольными. Они должны удовлетворять условиям совместимости (аналогичным условиям 1.25).

Подобно (1.24) для компонент тензора _ij скоростей деформаций верно соотношение

_ij  _ij  1/3_ij, (1.30)

где _ij - компоненты, характеризующие только скорости деформации сдвига, называемые компонентами девиатора скорости деформаций.