8.12. Резонансы в цепи переменного тока

В механике под явлением резонанса понимается резкое возрастание амплитуды отклика цепи при приближении частоты внешнего воздействия к определенному значению. В теории цепей различные величины, характеризующие поведение цепи (токи и напряжения), могут достигать максимальных амплитудных значений при разных (возможно и близких) значениях частоты.

В теории цепей для устранения неоднозначности амплитудного критерия определения резонанса применяют фазовый критерий резонанса.

Определение. Под резонансом понимают такой режим работы цепи, содержащей емкости и индуктивности, когда ее комплексное входное сопротивление имеет чисто активный характер, так что сдвиг фаз между током и напряжением на входе равен нулю.

Определение. Резонансной частотой называется частота, на которой входное сопротивление цепи становится чисто активным.

Электрические цепи, в которых имеют место явления резонанса, называются резонансными или колебательными.

Простейшей колебательной системой служит одиночный колебательный контур. В зависимости от способа подключения источника энергии различают последовательный и параллельный колебательный контур.

На рис. 8.8 показана схема последовательного контура. Напряжение на контуре равно э.д.с.

Рис. 8.8

Резонансная частота контура определяется из условия равенства нулю мнимой части входного сопротивления контура:

(8.56)

Отсюда получаем выражение резонансной частоты

(8.57)

При резонансе, согласно (8.56), сопротивление на индуктивности по модулю равно сопротивлению на емкости: (величина называется характеристическим сопротивлением контура). То есть , что с учетом (8.57) дает

(8.58)

Амплитуда тока в контуре на произвольной частоте равна

Фазовый сдвиг колебаний напряжения на контуре относительно колебаний тока определяется из выражения (см. п. 8.8) как

На резонансной частоте амплитуда тока достигает максимального значения

(8.59)

Фазовый сдвиг на резонансной частоте оказывается равен нулю.

Отношение амплитуды напряжения на реактивном элементе контура к амплитуде напряжения на контуре на резонансной частоте называется добротностью контура:

(8.60)

На практике добротность контура в современной радиоаппаратуре может достигать нескольких сотен. Поэтому в режиме резонанса амплитуда напряжения на каждом из реактивных элементов контура во много раз превышает амплитуду напряжения на контуре. В связи с этим резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений.

На рис. 8.15 показана векторная диаграмма напряжений при резонансе напряжений.

Рис. 8.15

Добротность контура можно также выразить через отношение энергии , запасаемой в реактивных элементах контура, к энергии , потребляемой контуром от источника за период колебаний на резонансной частоте:

(8.61)

Выражение:

(8.62)

может служить определением добротности любого колебательного контура.

Зависимость - квадрата амплитуды тока в контуре от частоты, определяет резонансную кривую контура (см. рис. 8.16).

Рис. 8.16

По определению, величина дает ширину резонансной кривой, которую можно выразить через параметры контура:

(8.63)

Далее рассмотрим резонанс в параллельном контуре (см. рис. 8.10).

Рис. 8.10

Резонансная частота контура определяется из условия равенства нулю мнимой части входной проводимости контура:

(8.64)

Отсюда получаем, что резонансная частота параллельного контура выражается той же формулой, что и у последовательного контура:

(8.57)

На резонансной частоте сопротивление параллельного контура достигает максимума, равного . По закону Ома, , так что при резонансе амплитуда тока, подводимого к параллельному контуру, достигает минимума. Однако внутри контура, образованного емкостной и индуктивной ветвями, циркулирует переменный ток, амплитуда которого намного больше, чем у тока, подводимого к контуру. В резонансе находятся токи емкостной и индуктивной ветвей, взаимно компенсируя друг друга в подводимом к контуру токе. Поэтому сам резонанс в параллельном колебательном контуре называется резонансом токов. Векторная диаграмма токов при резонансе токов показана на рис. 8.17.

Рис. 8.17