1.11. Формула Стокса

Запишем векторное произведение двух векторов – оператора Гамильтона и гладкой векторной функции . Эта операция порождает производное векторное поле, называемое ротором или вихрем поля :

Ротор характеризует интенсивность и направление вихревого движения в векторном поле. Например, пусть - линейная скорость выделенного элемента твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью . Тогда . Расчет дает

Выразим проекции вектора ротора в декартовой системе координат:

Формула Стокса дает выражение интеграла по поверхности через интеграл по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность. Положительное направление нормали в любой точке поверхности составляет правый винт с направлением положительного обхода элементарного контура у этой точки. Направление обхода контура согласовано с направлением положительного обхода каждого элементарного контура на поверхности . На рис 1.19 - проекция поверхности на плоскость .

Формула Стокса утверждает, что поток вихря векторного поля через кусочно-гладкую поверхность , ограниченную замкнутым контуром , равен циркуляции вектора по этому контуру.

(1.51)

Рис. 1.19. К формуле Стокса

Для электростатического поля, согласно (1.18),

(1.18)

что ввиду произвольности выбора поверхности позволяет получить из (1.51):

(1.52)

Если (1.18) – интегральная формулировка потенциальности электростатического поля, то (1.52) выражает то же условие в дифференциальной форме. Применение (1.52) при проверке потенциальности поля может оказаться более удобным, чем применение (1.18).

Приведем другой пример использования понятия ротора - для упрощения выражения

(1.50)

силы, действующей на диполь в неоднородном поле.

Пусть дипольный момент - постоянный, то есть . Используем векторное тождество

в котором положим , , и . Получим

В силу потенциальности электростатического поля

,

отсюда

и

1.12. Теорема Гаусса

Пусть двусторонняя и кусочно-гладкая поверхность , замкнутая или незамкнутая, помещена в векторное поле (см. рис. 1.20). Рассмотрим ее элемент , - единичная нормаль к площадке элемента .

Определение. Потоком векторного поля через элемент называется величина , где - проекция вектора на направление нормали , и - вектор элемента площади, .

Имеем: , если векторы и образуют острый угол, , если векторы и образуют тупой угол, и , если .

Рис. 1.20. Поток векторного поля через поверхность

Определение. Потоком векторного поля через всю поверхность называется поверхностный интеграл

(1.53)

В наиболее простом случае векторные линии поля пересекают поверхность лишь один раз. Тогда величина потока через поверхность пропорциональна числу векторных линий поля, пересекающих ее.

Выразим поток напряженности поля заряда через сферу, в центре которой находится заряд (см. рис. 1.21):

так как .

Силовые линии электрического поля в области, где нет зарядов, непрерывны. Число линий напряженности, пересекающих сферу и произвольную поверхность , охватывающую заряд , одинаково. Поэтому поток поля через сферу равен потоку того же поля через поверхность . Заряд системы зарядов , находящихся в объеме , ограниченным поверхностью , создает поток через поверхность . В соответствии с принципом суперпозиции поток поля системы зарядов через поверхность равен алгебраической сумме потоков полей отдельных зарядов системы в объеме , ограниченном поверхностью :

(1.54)

где - заряд системы, , , , .

Для непрерывной модели распределения зарядов с объемной плотностью заряд в объеме равен , что и следует учитывать при использовании формулы (1.54).

Рис. 1.21. К теореме Гаусса, ,

для замкнутой поверхности единичная нормаль выбирается внешней

Формула (1.54) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в интегральной форме:

Поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен электрическому заряду в объеме, ограниченном этой поверхностью, деленному на .

Выводы:

1) Теорема Гаусса выражает связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и зарядом в объеме, ограниченном этой поверхностью.

2) Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона. Иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Теорема Гаусса позволяет найти полный заряд в объеме посредством измерения потока напряженности через поверхность, ограничивающую объем. Другие способы определения заряда не дают удовлетворительного результата. Применению других методов препятствует то, что закон распределения измеряемого заряда в объеме заранее не известен. Исключение составляет метод, когда измеряемый заряд помещается в однородное электрическое поле напряженностью . Измерив силу , действующую на заряд со стороны поля, можно найти искомый заряд .