8.8. Цепи гармонического тока

Дифференциальное уравнение цепи. Цепь с емкостью , индуктивностью , сопротивлением , и источником э.д.с. показана на рис. 8.8.

Рис. 8.8

Применим закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения к контуру цепи:

(8.27)

где – сила тока в цепи, - заряд на емкости .

Дифференцируя (8.27) по времени, найдем

(8.28)

Спектральный метод анализа цепи. Уравнение (8.28) – линейное дифференциальное. Системы, которые подчиняются линейным уравнениям, называются линейными. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Решение этого уравнения , как и воздействие , можно выразить рядом или интегралом Фурье. Выражение для гармонической составляющей воздействия на частоте с амплитудой и начальной фазой запишем как

(8.29)

где - комплексная амплитуда э.д.с., .

Отклик системы на действие каждой из таких составляющих так же является гармоническим колебанием на той же частоте с амплитудой и начальной фазой :

(8.30)

где - комплексная амплитуда силы тока, .

Закон Ома для замкнутой цепи в комплексной форме. Подставим комплекс э.д.с. и комплекс тока в (8.28), продифференцируем по и сократим на , получим

или

(8.31)

где

(8.32)

Формула (8.31) выражает закон Ома для замкнутой цепи рис. 8.8 в комплексной форме. Комплексное сопротивление цепи из (8.32) называется импедансом. Взяв уравнение (8.31) по модулю, найдем выражение закона Ома для цепи рис. 8.8 в вещественной форме:

(8.33)

Закон Ома для участка цепи в комплексной форме. Подставим (8.32) в (8.31), получим

(8.34)

где - комплексная амплитуда напряжения на сопротивлении , индуктивности , и емкости , соответственно,

(8.35)

(8.36)

(8.37)

где , , - комплексное сопротивление резистивного , индуктивного , и емкостного элементов цепи, соответственно.

Формулы (8.35) – (8.37) выражают закон Ома в комплексной форме для участка цепи с резистивным, индуктивным, и емкостным сопротивлением, соответственно. Выразим комплексные сопротивления элементов цепи в нормализованной форме:

(8.38)

(8.39)

(8.40)

Вывод: Колебания тока и напряжения на резистивном сопротивлении - синфазные (в одинаковой фазе); на индуктивности колебания напряжения опережают по фазе колебания тока на ; на емкости колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока на

Формула (8.32) выражает комплексное сопротивление двухполюсника цепи рис. (8.8) с последовательным соединением элементов.

Вывод: При последовательном соединении комплексные сопротивления элементов складываются.

Векторные диаграммы. Комплексные числа можно изобразить векторами на комплексной плоскости. Длина вектора равна амплитуде колебаний, а угол между этим вектором и осью абсцисс равен начальной фазе колебаний. В соответствии с формулой (8.34) для цепи на рис. 8.8 построим векторную диаграмму напряжений на рис. 8.9.

Рис. 8.9

Рис. 8.9 отражает графический метод решения уравнения закона Ома (8.31) для цепи рис. 8.8, причем

,

И

Подобно строят векторные диаграммы комплексных сопротивлений.

Правила Кирхгофа. Анализ разветвленных цепей гармонического тока подобен анализу цепей постоянного тока с заменой значений токов, напряжений и э.д.с. отдельных элементов цепи на их комплексные амплитуды, а сопротивлений элементов цепи – их комплексными сопротивлениями:

1) Первое правило Кирхгофа для всякого замкнутого контура цепи дает

(8.41)

где , , и - комплексная амплитуда тока, комплексное сопротивление, и э.д.с. в i – ой ветви выделенного контура.

При обходе контура в направлении действия э.д.с., в выбранном положительном направлении тока берется знак +, иначе – знак -.

2) Второе правило Кирхгофа в каждом узле цепи дает

(8.42)

где также действует правило знаков – если выбранное положительное тока направление соответствует втеканию тока в узел, то берется знак +, иначе – знак -.

Применим правила Кирхгофа для разветвленной цепи на рис. 8.10.

Рис. 8.10

Получим систему относительно токов

Исключая последовательно токи , и из этой системы, получим уравнение

(8.43)

которое выражает закон Ома для схемы замещения (см. рис. 8.11) цепи на рис. 8.10, причем – комплексная проводимость пассивного двухполюсника, подключенного к источнику э.д.с.,

(8.44)

– комплексные проводимости элементов цепи, – комплексное сопротивление того же двухполюсника,

(8.45)

(8.46)

(8.47)

Рис. 8.11

Вывод: При параллельном соединении комплексные проводимости элементов складываются.