Понятие вероятности

Что такое «вероятность»? Это слово часто используется в обыденной жизни. Им обозначают меру уверенности в том, что произойдёт некоторое событие. При этом обычно вероятность выражают в процентах, имея в виду, что если событие обязательно произойдёт, то вероятность этого равна 100%. Так, в прогнозе погоды можно услышать, что вероятность дождя в ближайшие два часа равна 60%.

Разберёмся, что имеется в обычной жизни в виду, когда утверждается, что вероятность события A равна числу р? Попытайтесь сами себе ответить на вопрос: «Что такое вероятность события 60%?» Скорее всего, Ваш ответ будет такой: «Событие произойдёт в 60 случаях из 100». Вы на верном пути. Просто слишком категорично. Неужели Вы всерьёз думаете, что событие произойдёт ровно в 60 случаях из 100? Действительно, такая предопределённость, особенно во время сотого испытания выглядит весьма неправдоподобно. Более верным следует признать такой ответ: «Событие произойдет примерно в 60 случаях из 100». Согласен. Остался другой вопрос: «Что такое примерно 60? Это больше чего и меньше чего?» Не нужно ждать строгих ответов на такие вопросы.

Чтобы окончательно разобраться в том, что такое вероятность с житейской точки зрения, введём понятие частоты появления события. Пусть произведено N испытаний и событие A произошло M раз. Тогда частотой f появления события будем называть дробь M/N. Предположим, что проводимый эксперимент характеризуется устойчивостью частот. Под этим термином подразумевается, что в разных достаточно длинных сериях испытаний, частоты появления события A не сильно отличаются друг от друга. В опытах с такими условиями обычно наблюдается, что чем больше длина серии экспериментов, тем частота появления события ближе к некоторому числу, являющемуся внутренней характеристикой события (которое и называется вероятностью). Если Вы помните тему «пределы» из курса математики, то может быть, Вам пришла мысль о том, что вероятность — это предел частоты, при стремлении числа испытаний к бесконечности. Практически идеально, только опять не надо так категорично. Если бы это было так, то согласно определению предела последовательности, для любого числа ε>0, существовал бы такой номер испытания, начиная с которого, обязательно выполнилось бы неравенство p–ε < f < p+ε. Подобного ограничения не может быть, так как теоретически (но не практически!) частота f может принимать любые, допустимые правилами арифметики, значения. Верным будет утверждение, известное в теории вероятностей под названием «Теорема Бернулли»: для любого числа ε>0 верно, что . Здесь f_N это частота появления события A в первых N испытаниях. Такое стремление частоты к вероятности математики называют «стремлением по вероятности». Разумеется, это не есть стремление в полном смысле этого слова. В одной из моих любимых книжек (Вентцель Е.С. «Теория вероятностей») для такого стремления используется глагол «приближается». Некоторым недостатком формулировки теоремы Бернулли, выдаваемой здесь за житейский смысл вероятности, является то, что вероятность события определяется через вероятность другого события.

Если Вы согласны с близостью вероятности и частоты при большом количестве испытаний, то теперь можете окончательно сформулировать ответ на вопрос: «Что такое вероятность 60%?» Видимо ответ такой: «При большом числе испытаний частота события приближается, пусть с некоторыми временными отклонениями, к 3/5». Последний вопрос: «А как быть с вероятностью дождя в ближайшие два часа?» Действительно, не может быть и речи о проведении этого эксперимента многократно. Ближайшие два часа пройдут раз и навсегда. Дождь либо будет, что приведёт к частоте, равной единице, либо не будет, и тогда частота этого события окажется равной нулю. В любой ситуации, никакого приближения частоты к вероятности не ожидается. Чтобы решить эту проблему запомните свои ощущения относительно меры уверенности того, что в многократно повторяющемся эксперименте произойдёт событие с аналогичной вероятностью, и перенесите эти ощущения на событие в неповторяемом эксперименте.