39

Предисловие

Во время преподавания математики студентам гуманитарных специальностей возникает следующая проблема: в отличие от студентов-математиков им не свойственно безоговорочно принимать базовые утверждения: определения и аксиомы. Действительно, математик, определяя некоторые понятия, не доказывает, что они совпадают с какими-то реальностями в жизни (он их и называет «абстракциями»). Совершенно естественно, что гуманитарии часто задают бессмысленный с точки зрения математика вопрос: «Почему определение именно такое? Докажите определение!». Конечно доказать определение нельзя, но всё-таки возможно найти сходства математических понятий и окружающих нас вещей.

Изложенное ниже не претендует на строгость. Доказательства теорем (а иногда и их строгие формулировки) практически отсутствуют. Поэтому прочтение данного вряд ли будет полезно студентам, специализирующимся в области математики. А гуманитарии наделённые «здравым смыслом» смогут найти здесь желанные комментарии и объяснения.

Введение в теорию вероятностей События

Будем считать, что поводится некоторый эксперимент. Само проведение эксперимента будем называть «испытанием». Результат этого эксперимента будем называть «событием». Если событие происходит при каждом испытании, то его будем называть «достоверным» и обозначать греческой буквой Ω (омега). Если событие не наступает ни при каком испытании, то его будем называть «невозможным» и обозначать символом пустого множества: . Если событие может произойти, а может и не произойти, то его будем называть «случайным» и обозначать большими латинскими буквами: A, B, C, … .

Заметим, что использование символики теории множеств здесь вполне оправдано. Кроме символа пустого множества в дальнейшем будут использоваться равенства и подмножества, знаки операций пересечения, объединения и разности множеств. Так, если события A и B всегда наступают одновременно, то будем записывать A=B. Если наступление события A влечёт за собой наступление события B, то это обозначим как AB. Событие, наступающее при одновременном наступлении событий A и B, будем обозначать AB. Событие, которое наступает, в тот случае, если произошло хотя бы одно из событий A или B, будем обозначать AB. Событие, которое наступает, если событие A произошло и при этом событие B не произошло, обозначим A\B. Аналогом достоверного события Ω в теории множеств является универсальное множество. Противоположным событием для события A будем называть событие Ω\A, которое обозначим чёрточкой наверху: A=Ω\A (эта операция аналогична дополнению в теории множеств). Справедливы равенства A A = , A A = Ω.

События, которые не могут наступить одновременно, называются «несовместными». Если события A и B несовместны, то AB=.

Иногда бывает удобно использовать понятие «элементарного» события. Событие A будем называть элементарным для данного эксперимента, если для любого события B будет справедливым одно из утверждений: AB или AB=. То есть, либо событие A целиком входит в событие B, либо целиком не входит. Множество, состоящее из всех элементарных событий данного эксперимента, называется «вероятностным пространством».

В качестве примера эксперимента приведём бросание игральной кости (кубика). При таком эксперименте можно фиксировать число очков на его верхней грани. Тогда элементарными событиями будут шесть событий, заключающихся в выпадении единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки на верхней грани кубика. Достоверным событием будет «выпадение числа очков меньше семи». Невозможным событием будет выпадение нуля очков. Случайных событий, не являющимся элементарными, достаточно много, например, таким событием является «выпадение числа очков меньше пяти».