Распределение Коши

Организуем любым доступным способом равномерно распределённую на промежутке (/2;/2) случайную величину T. Её функция распределения будет иметь вид Числа промежутка (/2;/2) нанесём на полуокружность единичного радиуса (см. рис. 28). Построим числовую прямую, касающуюся полуокружности в точке нуль, и имеющую точку касания своим началом. После того, как в эксперименте получится значение случайной величины T, проведём луч из центра через полученную точку полуокружности до пересечения с касательной. При этом образуется число X, являющееся значением новой случайной величины, распределение которой называется распределением Коши. Найдём её функцию распределения F(x).

. Последний переход объясняется тем, что . График функции распределения показан на рисунке 29.

Рис. 29. Функция распределения случайной величины Коши.

Плотность вероятности распределения Коши равна производной от найденной функции распределения . Убедимся в выполнении условия нормировки:

. График плотности вероятности показан на рисунке 30.

Рис. 30. Плотность вероятности распределения Коши.

Докажем, что у распределения Коши нет математического ожидания, для чего убедимся в расходимости несобственного интеграла:

. Сделаем замену переменных: t=1+x²dt=2x∙dx, тогда если x=0, то t=1, а если x+, то t+, поэтому

. Несобственный интеграл расходится, поэтому математического ожидания распределения Коши не существует, хотя графики функции распределения и плотности вероятности качественно напоминают соответствующие графики для нормального распределения. У графика плотности вероятности так же есть перегибы . Только эти функции значительно медленнее стремятся к своим пределам на бесконечности.