- •Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика» Вопросы и задачи по теории вероятностей
- •Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •Вопросы и задачи по теории вероятностей
- •125468, Ленинградский пр-т, 49
- •Содержание
- •I. Теоретические вопросы
- •II. Практические задания
- •I. Теоретические вопросы
- •1. Случайные события
- •2. Схема Бернулли
- •3. Дискретные случайные величины
- •4. Непрерывные случайные величины
- •5. Начальные и центральные моменты случайных величин
- •6. Случайные векторы
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •● Центральная предельная теорема
- •Практические задания
- •1. Случайные события
- •2. Дискретные случайные величины
- •3. Непрерывные случайные величины
- •4. Случайные векторы
- •Ответы к задачам
2. Дискретные случайные величины
● Закон распределения случайной величины
Случайная величина принимает только целые значения . При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность .
Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения . При этом . Найдите значение константы и вероятность .
● Независимые дискретные случайные величины
Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .
Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .
Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .
Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .
Независимые случайные величины и принимают только целые значения: – от до , – от до . Найдите , если известно, что возможные значения и равновероятны.
Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите .
Независимые случайные величины принимают только целые значения от до . Найдите вероятность , если известно, что все возможные значения равновероятны.
Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность того, что примут разные значения.
Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .
● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Распределение дискретной случайной величины задано таблицей
Найдите математическое ожидание и вероятность .
Дискретная случайная величина принимает только целые значения , каждое с вероятностью . Найдите математическое ожидание и вероятность .
Распределение дискретной случайной величины задано таблицей
Найдите дисперсию .
Распределение случайной величины задано таблицей
Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение и вероятность .
Для случайной величины известно, что , , . Найдите дисперсию .
Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .
Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .
Дискретные случайной величины распределены по закону, заданному таблицей
Найдите математическое ожидание .
Независимые случайные величины принимают только целые значения . Найдите математическое ожидание , если известно, что возможные значения равновероятны.
Для независимых случайных величин известно, что их математические ожидания , дисперсии , . Найдите дисперсию произведения .
Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .
Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .
Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна , вероятность проигрыша рублей равна . Найдите дисперсию капитала игрока после партий.
● Основные дискретные законы распределения и их характеристики
На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросаются точек. Пусть случайная величина – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию .
Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть – число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание .
Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .
Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .
Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. точек последовательно бросаются наудачу на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .
Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .
Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами , – число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .
На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .
В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).
В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна . Пусть – время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию .
Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .
Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .
Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .
Случайная составляющая выручки равна , где – биномиальная случайная величина с параметрами и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а .
Для пуассоновской случайной величины отношение . Найдите математическое ожидание .
● Ковариация и коэффициент корреляции
Даны математические ожидания случайных величин и : , , их дисперсии , и ковариация Cov . Найдите математическое ожидание и дисперсию .
Случайные величины принимают только значения и . Найдите дисперсию , если вероятности , а коэффициент корреляции и равен .
Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии , , а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание .
Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .
Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .
Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите , если и , а коэффициент корреляции и равен .