Экзам_задачи_ТВ-II

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра «Математика и финансовые приложения»

А. В. Браилов В.М. Гончаренко В.В. Коннов

Вопросы и задачи по теории вероятностей

Для студентов

общеэкономических специальностей

Москва 2006

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАФЕДРА «Математика и финансовые приложения»

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор

____________М.А. Эскиндаров «____» ______________2006 г.

А. В. Браилов В.М. Гончаренко В.В. Коннов

Вопросы и задачи

по теории вероятностей

Для студентов общеэкономических специальностей

Рекомендовано Ученым советом по специальности «Математические методы в экономике» (протокол № от 19 апреля 2006 г.)

Одобрено кафедрой «Математика и финансовые приложения»

(протокол №10 от 12 апреля 2006 г.)

МОСКВА 2006 ГОД

3

УДК 51(073) 106282 ББК 22.1

Б87

Браилов А.В., Гончаренко В.М., Коннов В.В. Вопросы и задачи по тео-

рии вероятностей. Учебное издание для студентов общеэкономических специальностей. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра «Математика и финансовые приложения», 2006. — 52 с.

Рецензент: М.Г. Орлова, доцент.

Учебное пособие содержит теоретические вопросы и практические задания, а также основные требования к уровню освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Предназначено для подготовки к экзамену по дисциплине и для организации самостоятельной работы студентов.

Браилов Андрей Владимирович Гончаренко Василий Михайлович Коннов Валерий Владимирович

Компьютерный набор, верстка: Браилов А.В., Гончаренко В.М., Коннов В.В.

Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. 3,25 п.л. Изд. № 9.6–2006.

Тираж 300 экз. Заказ № ______________

Отпечатано в Финансовой академии при Правительстве РФ

125468, Ленинградский пр-т, 49

Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом настоящего издания допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ.

© Финансовая академия при Правительстве РФ, 2006.

4

Содержание

I.Теоретические вопросы

1.Случайные события …………………………………………………………… 6

2.Схема Бернулли ……………………………………………………………...... 9

3.Дискретные случайные величины ……………………………………… …… 11

4.Непрерывные случайные величины …………………………………………. 15

5.Начальные и центральные моменты случайных величин ………………….. 17

6.Случайные векторы …………………………………………………………… 18

7.Предельные теоремы теории вероятностей ……………………………. …… 20

8.Математическая статистика ………………………………………………….. 21

II.Практические задания

1.Случайные события …………………………………………………………… 24

2.Дискретные случайные величины …………………………………………… 30

3.Непрерывные случайные величины …………………………………………. 36

4.Случайные векторы …………………………………………………………… 40

5.Математическая статистика ………………………………………………...... 47 Ответы к задачам ………………………………………………………………… 51

5

I.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Случайные события

●Основные определения и свойства. Алгебра событий

1.Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определяется событие, противоположное данному? Приведите примеры.

2.Что называется суммой и произведением событий A и B ? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечисли-

те все случаи наступления события AB +C .

3.Что называется пространством элементарных событий? Что называется слу-

чайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события A ? Что называется вероятностью события A ? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: A – выпадение числа очков, меньших 2 ; B – выпадение более 2

очков?

4.Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности? Пусть A , B и C – случайные события. Перечислите все случаи наступления события AB +C .

5.В каком случае событие B называют следствием события A ? Какие события называются равными? Объясните, почему A = AB + AB .

6.Пусть A и B – случайные события. Упростите выражение (A + B)(A + B). Най-

дите событие, противоположное событию (A + B)(A + B).

7. Докажите, что A1 + A2 +K+ An = A1 A2 K An . Что означает событие

A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ?

6

9.Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию 0 ≤ P ≤1? Возможны ли случаи P = 0 и P =1 ? Ответ обоснуйте.

● Теорема сложения вероятностей

10.Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для любых событий A и B . Что такое правило сложения вероятностей для несовместных событий A и B ?

11.Какие события A1, A2 , ..., An называются попарно несовместными? Сформу-

лируйте правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий A1, A2 , ..., An . Приведите пример попарно несовместных событий A, B и

7

● Независимые события и правило умножения вероятностей

15.Какие события называются независимыми? Докажите, что если события A и

B независимы, то независимы события A и B .

16.Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий A и B ; б) для любых A и B ? Запишите правило умножения вероятностей для

трех (зависимых) событий A, B и C . Приведите примеры применения соот-

ветствующих формул.

17.Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события A, B,C означают: A – на первой монете выпал герб; B – на второй монете выпал герб; C – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?

18.Как соотносятся понятия независимые события A и B и несовместные со-

бытия A и B ? Следует ли из независимости событий A, B и C независи-

мость событий AB и C ? Почему?

19.События A и B независимы; события A иC также независимы. При этом

события B и C несовместны. Следует ли из этого, что события A и B +C

независимы? Ответ необходимо обосновать.

20. События A и B независимы; события A и C также независимы. При этом события B и C несовместны. Следует ли из этого, что события A и B +C

независимы? Ответ необходимо обосновать.

21.Как определяется независимость событий A1, A2 , ..., An в случае n > 2 ? Явля-

ется ли равенство P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) достаточным для независимости событий A1, A2 , A3 ? Ответ обоснуйте.

22.Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть p – вероятность того, что при одновременном броске данных кос-

тей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, что p = 16 .

8

успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

31.Выведите формулу Pn (k ) для вероятности k успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли.

● Наиболее вероятное число успехов

32.Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли.

33.Пусть Pn (k ) – вероятность k успехов в серии n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании. При каком k вероятность Pn (k )

достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием

n−1

количества успехов? Чему равна сумма ∑ Pn (k )?

k =0

34.Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.

● Вероятности Pn (k ) при больших значениях n

35.Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса ϕ(x) и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?

36.Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа Φ(x) . При каких условиях данная форму-

ла дает хорошее приближение?

37.Укажите выражение для функции Лапласа Φ(x) . Докажите нечетность

функции Φ(x) и нарисуйте график y = Φ(x) . Чему равно Φ(−12)?

10