Экзам_задачи_ТВ-II

38.Используя интегральную приближенную формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события A от вероятности p наступления A в одном опыте.

● Предельная теорема Пуассона

39.Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.

40.Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.

3.Дискретные случайные величины

●Функция распределения случайной величины

41.Что такое случайная величина? Что такое дискретная случайная величина? Что называется функцией распределения случайной величины? Приведите пример функции F(x) , которая является функцией распределения некоторой дискретной случайной величины X , объясните, почему это так и постройте ее график.

42.Сформулируйте основные свойства функции распределения случайной величины и продемонстрируйте их на примере.

43.Может ли график функции распределения быть прямой линией? Ответ обоснуйте.

44.Что такое дискретная случайная величина? Может ли таблица

рассматриваться как закон распределения дискретной случайной величины?

11

45. Дана дискретная случайная величина с законом распределения

Что является ее функцией распределения F(x) ? Постройте график F(x) и

опишите его точки разрыва. Как вычисляется вероятность

● Типичные законы распределения дискретных случайных величин

46.Что называется геометрическим распределением с параметром p ? Приведи-

те пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p .

47.Что называется биномиальным распределением с параметрами n и p ? При-

ведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

48.Какой закон распределения называется законом Пуассона? В чем состоит связь этого закона с предельной теоремой Пуассона (приближенной формулой Пуассона)?

● Независимые дискретные случайные величины

49.Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают 200 раз. Пусть X1 – число выпадений грани 1; X 2 – число выпадений грани 2 . Будут ли зависимыми случайные величины X1 и X 2 ? Ответ обос-

нуйте.

50.Пусть X ,Y , Z – независимые случайные величины, принимающие с вероят-

ностью 12 значения 0 и 1. Верно ли, что X +Y и Y +Z – независимые случай-

ные величины? Ответ обоснуйте.

12

D[XY ]= D[X ] D[Y ]+ M [X ]2 D[Y ]+M [Y ]2 D[X ].

62.Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и p . Докажите, что M ( X ) = np, D( X ) = np(1− p).

63.Докажите, что для биномиальной случайной величины с вероятностью ус-

пеха p в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство

64.Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром λ. Докажите, что M ( X ) = D( X ) = λ .

65.Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p. Докажите, что M ( X ) = 1p .

66.Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p. Докажите, что D( X ) = 1p−2p .

● Ковариация и коэффициент корреляции

67.Как определяется ковариация Cov (X ,Y ) случайных величин X и Y ? Дока-

жите, что D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) +2 Cov ( X ,Y ).

68.Сформулируйте основные свойства ковариации Cov (X ,Y ) случайных вели-

чин X и Y . Докажите, что Cov (X ,Y )= M ( XY ) −M ( X )M (Y ) .

69. Как определяется коэффициент корреляции ρ(X ,Y ) случайных величин X и

Y ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если

70.Докажите, что коэффициент корреляции ρ( X ,Y ) случайных величин X и Y

удовлетворяет условию ρ( X ,Y ) ≤1. Что можно сказать о X и Y , если

ρ( X ,Y ) =1? Если ρ( X ,Y ) = −1?

71.Чему равен ρ(X ,Y ) и Cov (X ,Y ) при условии независимости случайных вели-

14

чин X ,Y ? Что можно сказать о ρ(X ,Y ), если Y = a +bX , где a и b – некоторые

числа (b ≠ 0)? Ответ обоснуйте.

4.Непрерывные случайные величины

●Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

72.Дайте определение непрерывной случайной величины X . Чему в этом слу-

чае равна вероятность P(X = a), где a – определенное число? Следует ли из

равенства P(X = a)= 0 для непрерывной случайной величины X , что событие

X= a никогда не наступает?

73.Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности f (x) ? Ответ обоснуйте.

74.Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?

● Основные законы распределения непрерывных случайных величин

75.Как определяется показательный закон распределения с параметром λ > 0 ? Укажите формулу для функции плотности f (x) , найдите соответствующую функцию распределения F(x) и постройте графики функций f (x) и F(x) .

15

76.Как определяется равномерный закон распределения на отрезке [a,b]? Ука-

жите формулу для функции плотности f (x) , найдите соответствующую функцию распределения F(x) и постройте графики функций f (x) и F(x) .

77.Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность P(c ≤ X ≤ d) для равномерно распределенной на отрезке [a,b]

случайной величины X ? Рассмотрите случаи: 1) с > a, d < b и 2) с < a, d < b.

78.Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности f (x) , найдите соответствующую функцию распределения F(x) и приведите формулу для вычисления вероятности

P(α ≤ X ≤ β) .

79.Запишите плотность распределения нормальной случайной величины X , для которой M ( X ) = m, D( X ) =σ 2 . Как изменится график плотности распре-

деления, если: а) увеличится m, б) увеличится σ ?

● Числовые характеристики непрерывных случайных величин

80.Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью f (x)? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной

величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.

81.Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью f (x)? До-

0, x <1,

кажите, что для случайной величины X с плотностью f (x) = x23 , x ≥1 диспер-

сия D( X ) не существует, а математическое ожидание M ( X ) существует.

● Основные характеристики типичных непрерывных распределений

82. Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии случайной

16

величины, равномерно распределенной на отрезке [a,b].

83. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра m в форму-

−( x−m )2

ле f (x) = 21πσ e 2σ2 для функции плотности случайной величины X , распре-

деленной по нормальному закону.

84. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра σ в форму-

−( x−m )2

ле f (x) = 21πσ e 2σ2 для функции плотности случайной величины X , распре-

деленной по нормальному закону.

85.Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ , математическое ожидание M (x) = λ1 .

86.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a,b]. Можно ли

для любых m и σ > 0 подобрать параметры a и b так, чтобы M (X )= m, D(X )=σ2 ? Как по m и σ найти a и b ?

87.Что такое правило 3σ для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины X существует отрезок [a,b], для которого P( X [a,b]) =1 ? Ответ обоснуйте.

5. Начальные и центральные моменты случайных величин

88.Сформулируйте определение начальных ν1,ν2 ,... и центральных µ1, µ2 ,... мо-

ментов случайной величины. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то µ3 ( X +Y ) = µ3 ( X ) + µ3 (Y ).

89.Пусть ν1,ν2 ,... – начальные, а µ1, µ2 ,... – центральные моменты некоторой

µ4 =ν4 −4ν1ν3 +6ν12ν2 −3ν14 .

90.Сформулируйте определение асимметрии As( X ) случайной величины X и

17

укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины?

91.Сформулируйте определение эксцесса Ex( X ) случайной величины X и

укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?

92.Найдите асимметрию и эксцесс равномерного распределения на отрезке

[a,b].

6.Случайные векторы

●Функция распределения и функция плотности случайного вектора

93.Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора ( X ,Y ) и дайте его геометрическую интерпретацию.

94.Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора ( X ,Y ) и приведите пример двумерной функции распределения.

95.Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса R .

96.Как найти функцию распределения FX ,Y (x, y) двумерного случайного векто-

ра ( X ,Y ) , если известна функция плотности распределения fX ,Y (x, y) ? Ука-

жите функцию распределения F(x, y) для случайного вектора ( X ,Y ), равно-

мерно распределенного в прямоугольнике со сторонами a и b .

97.Как найти функции плотности fX (x) и fY ( y) компонент X и Y , если из-

вестна функция плотности fX ,Y (x, y) двумерного распределения ( X ,Y ) ?

18

Приведите пример двумерной функции плотности fX ,Y (x, y) и найдите

плотности компонент.

● Случайные векторы с независимыми компонентами

98.Как можно найти функцию fX ,Y (x, y) плотности распределения случайного вектора ( X ,Y ) с независимыми компонентами X и Y , если известны их плотности распределения fX (x) и fY ( y) ? Будут ли независимыми компо-

ненты случайного вектора ( X ,Y ) , равномерно распределенного в прямо-

угольнике a ≤ x ≤b, c ≤ y ≤ d ? Ответ обоснуйте.

99. Как можно найти функцию распределения FX ,Y (x, y) случайного вектора

( X ,Y ) с независимыми компонентами X и Y , если известны их функции

распределения FX (x) и FY ( y) ? Ответ обоснуйте.

● Числовые характеристики случайного вектора

100.Как найти математическое ожидание функции ϕ( X ,Y ) , где X ,Y – компо-

ненты случайного вектора ( X ,Y ) ? Как определяются начальные νk ,l и цен-

тральные µk ,l моменты случайного вектора ( X ,Y ) ?

101.Каков смысл начальных ν0,1 , ν1,0 и центральных µ1,0 , µ0,1, µ1,1 моментов дву-

мерного случайного вектора ( X ,Y ) ? Ответ обоснуйте.

102.Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин X1, X 2 ,K, X n и сформулируйте их основные свойства.

103.Как найти ковариацию Cov ( X ,Y ) случайных величин X и Y , если известна функция плотности fX ,Y (x, y) двумерного распределения ( X ,Y ) ? Верно ли,

что из равенства Cov ( X ,Y ) = 0 вытекает независимость X и Y , если ( X ,Y ) –

19

двумерный нормальный случайный вектор?

104. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины Z = X +Y , если ( X ,Y ) – двумерный случайный вектор с функцией плотности f (x, y) и независимыми компонентами X и Y . Приведите пример ее при-

менения.

● Условные распределения и условные математические ожидания

105.Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и Y ?

106.Сформулируйте определение условной функции распределения случайной

Yнезависимы?

107.Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины Y при условии X = x и математическое ожидание слу-

чайной величины X при условии Y = y ? Докажите, что M (M ( X | Y ))= M ( X )

иM (M (Y | X ))= M (Y ) .

7.Предельные теоремы теории вероятностей

●Неравенство Чебышева

108.Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.

109.Используя неравенство Чебышева, сформулируйте и докажите «правило трех сигм» для произвольной случайной величины X .

● Закон больших чисел

20