ВГОБУ ВПО «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика» Вопросы и задачи по теории вероятностей
Для студентов
бакалавриата экономики
МОСКВА 2010 ГОД
ВГОБУ ВПО «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор Финуниверситета
____________М.А. Эскиндаров
«____» ______________2010 г.
Вопросы и задачи по теории вероятностей
Для студентов бакалавриата экономики
Одобрено кафедрой
«Математика и финансовые приложения»
(протокол №3 от 6 октября 2010 г.)
МОСКВА 2010 ГОД
УДК
ББК
Браилов А.В., Гончаренко В.М., Зададаев С.А., Коннов В.В. Вопросы и задачи по теории вероятностей. Для студентов бакалавриата экономики. М.: Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2010. — 44 с.
Рецензент: Мелехина Т.Л., доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика».
Пособие содержит теоретические вопросы и практические задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемому в третьем семестре студентам бакалавриата экономики. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов и для подготовки к экзамену, а также содержит основные требования к уровню освоения дисциплины в части теории вероятностей.
Под редакцией С.А.Зададаева.
Браилов Андрей Владимирович
Гончаренко Василий Михайлович
Зададаев Сергей Алексеевич
Коннов Валерий Владимирович
Компьютерный набор, верстка: Браилов А.В., Зададаев.С.А.
Формат 60x90/16. Гарнитура Таймс.
Усл. 3,125 п.л. Изд. №______2010.
Тираж 20 экз. Заказ № ______________
Отпечатано в Финансовом университете при Правительстве РФ
125468, Ленинградский пр-т, 49
Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом настоящего издания допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ.
© Финансовый университет при Правительстве РФ, 2010.
Содержание
I. Теоретические вопросы
1. Случайные события ……………………………………………………… …… 4
2.Схема Бернулли ………………………………………………………………... 7
3. Дискретные случайные величины ……………………………………… …… 9
4. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 13
5. Начальные и центральные моменты случайных величин ………………….. 15
6. Случайные векторы …………………………………………………………… 16
7. Предельные теоремы теории вероятностей ……………………………. …… 18
II. Практические задания
1. Случайные события …………………………………………………………… 20
2. Дискретные случайные величины …………………………………………… 26
3. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 32
4. Случайные векторы …………………………………………………………… 36
Дополнения ………………………………...……………………………………… 42
Ответы к задачам ………………………………………………………………… 43
I. Теоретические вопросы
1. Случайные события
● Основные определения и свойства. Алгебра событий
Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определятся событие, противоположное данному? Приведите примеры.
Что называется суммой и произведением событий
и
?
Имеют ли смысл сумма и произведение
событий, относящихся к разным опытам?
Перечислите все случаи наступления
события
.Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события ? Что называется вероятностью события ? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: – выпадение числа очков, меньших
;
– выпадение более
очков?
Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности? Пусть , и
– случайные события. Перечислите
все случаи наступления события
.
В каком случае событие называют следствием события ? Какие события называются равными? Объясните, почему
.
Пусть и – случайные события. Упростите выражение
.
Найдите событие, противоположное
событию
?Докажите, что
.
Что означает событие
?
Докажите, что
.
Что означает событие
?Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию
?
Возможны ли случаи
и
?
Ответ обоснуйте.
● Теорема сложения вероятностей
Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для любых событий и . Что такое правило сложения вероятностей для несовместных событий и ?
Какие события
называются попарно несовместными?
Сформулируйте правило сложения
вероятностей для попарно несовместных
событий
.
Приведите пример попарно несовместных
событий
и
таких что
Объясните, почему
для событий
и
.
Чему равна сумма
вероятностей противоположных
событий? Ответ обоснуйте.Верно ли, что если событие является следствием события , то
?
Ответ обоснуйте.
● Условная вероятность
Дайте определение условной вероятности
и приведите его статистическую
интерпретацию. Укажите примеры,
когда: 1)
;
2)
● Независимые события и правило умножения вероятностей
Какие события называются независимыми? Докажите, что если события и независимы, то независимы события и
.
Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий и ; б) для любых и ? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий и . Приведите примеры применения соответствующих формул.
Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события
означают:
– на первой монете выпал герб;
– на второй монете выпал герб;
–
обе монеты упали на одну сторону.
Будут ли независимы все три события?
Почему?
Как соотносятся понятия независимые события и и несовместные события и ? Следует ли из независимости событий и независимость событий
и
?
Почему?
События и
независимы; события
и
также независимы. При этом события
и
несовместны. Следует ли из этого,
что события
и
независимы? Ответ необходимо
обосновать.
События и
независимы; события
и
также независимы. При этом события
и
несовместны. Следует ли из этого,
что события
и
независимы? Ответ необходимо
обосновать.
Как определяется независимость событий в случае
?
Является ли равенство
достаточным для независимости
событий
?
Ответ обоснуйте.
Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть
– вероятность того, что при
одновременном броске данных костей
на них выпадет одинаковое число
очков. Докажите, что
● Геометрический подход к определению вероятности
В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке
в треугольнике
В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса
?
в кубе со стороной
● Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса
Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события ,
и
не образуют полной группы событий.
Верно ли, что события ,
,
и
образуют полную группу для любых
событий
и
?
Ответ обоснуйте.Событие влечет событие
Верно ли, что
Дайте обоснованный ответ.
Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.
Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.