- •Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика» Вопросы и задачи по теории вероятностей
- •Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •Вопросы и задачи по теории вероятностей
- •125468, Ленинградский пр-т, 49
- •Содержание
- •I. Теоретические вопросы
- •II. Практические задания
- •I. Теоретические вопросы
- •1. Случайные события
- •2. Схема Бернулли
- •3. Дискретные случайные величины
- •4. Непрерывные случайные величины
- •5. Начальные и центральные моменты случайных величин
- •6. Случайные векторы
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •● Центральная предельная теорема
- •Практические задания
- •1. Случайные события
- •2. Дискретные случайные величины
- •3. Непрерывные случайные величины
- •4. Случайные векторы
- •Ответы к задачам
4. Непрерывные случайные величины
● Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины
Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где – определенное число? Следует ли из равенства для непрерывной случайной величины , что событие никогда не наступает?
Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте.
Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?
● Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .
Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .
Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность для равномерно распределенной на отрезке случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1) и 2)
Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и приведите формулу для вычисления вероятности .
Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится б) увеличится ?
● Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью ? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.
Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью ? Докажите, что для случайной величины с плотностью дисперсия не существует, а математическое ожидание существует.
● Основные характеристики типичных непрерывных распределений
Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, равномерно распределенной на отрезке
Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.
Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.
Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание
Случайная величина равномерно распределена на отрезке Можно ли для любых и подобрать параметры и так, чтобы ? Как по и найти и ?
Что такое правило для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины существует отрезок для которого ? Ответ обоснуйте.