Экзам_задачи_ТВ-II

46.Независимые случайные величины X ,Y принимают только целые значения: X – от 1 до 11 с вероятностью 111 , Y – от 1 до 9 с вероятностью 19 . Найдите вероятность P( X <Y ) .

47.Независимые случайные величины X ,Y принимают только целые значения: X – от 1 до 10 с вероятностью 101 , Y – от 1 до 15 с вероятностью 151 . Найдите вероятность P( X +Y < 8) .

48.Независимые случайные величины X ,Y принимают только целые значения: X – от −6 до 5 с вероятностью 121 , Y – от −6 до 9 с вероятностью 161 . Найдите вероятность P( XY = 0) .

49.Независимые случайные величины X и Y принимают только целые значения: X – от −8 до 7 , Y – от −6 до 8 . Найдите P( XY > 0) , если известно, что возможные значения X и Y равновероятны.

50.Независимые случайные величины X ,Y принимают только целые значения: X – от −6 до 9 с вероятностью 161 , Y – от −5 до 8 с вероятностью 141 . Найдите P( XY < 0) .

51.Независимые случайные величины X1 ,..., X8 принимают только целые зна-

чения от 0 до 8 . Найдите вероятность P( X1 X2 ...X8 = 0) , если известно, что все возможные значения равновероятны.

52.Независимые случайные величины X ,Y, Z принимают только целые значе-

ния: X – от 1 до 16 с вероятностью 161 , Y – от 1 до 12 с вероятностью 121 , Z

– от 1 до 7 с вероятностью 17 . Найдите вероятность того, что X ,Y, Z примут разные значения.

53. Независимые случайные величины X ,Y, Z принимают только целые значения: X – от 1 до 13 с вероятностью 131 , Y – от 1 до 9 с вероятностью 19 , Z – от 1 до 7 с вероятностью 17 . Найдите вероятность P( X <Y < Z ) .

31

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

54. Распределение дискретной случайной величины X задано таблицей

Найдите дисперсию D (X ).

59.Независимые дискретные случайные величины X ,Y могут принимать только значения 0 и 1. При этом P( X = 0) = 0.1, P(Y = 0) = 0.9 . Найдите мате-

матическое ожидание M[( X +Y )2 ] .

60.Независимые дискретные случайные величины X ,Y могут принимать только значения 0 и 1. При этом P( X = 0) = 0.1, P(Y = 0) = 0.6 . Найдите мате-

матическое ожидание M[( X −Y )2 ] .

32

● Основные дискретные законы распределения и их характеристики

67.На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых 5 и 25 соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают 5 точек. Пусть случайная величина X –

33

число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание M ( X ) и дисперсию D( X ) .

68.Производится 1920 независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются 7 монет. Пусть X – число испытаний, в которых выпало 3 герба. Найдите математическое ожидание M ( X ) .

69.Случайные величины X1 ,..., X192 распределены по биномиальному закону с

параметрами n = 4 и p = 85 . Найдите математическое ожидание

M[ X12 +... + X1922 ].

70.Случайные величины X1 ,..., X27 независимы и распределены по биномиаль-

ному закону с параметрами n = 5 и p = 23 . Найдите математическое ожида-

ние M{( X1 +... + X27 )2 }.

71.Отрезок длины 35 поделен на две части длины 25 и 10 соответственно. Наудачу 6 точек последовательно бросают на отрезок. X – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины 10 . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины X .

72.Производится 14 независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются 4 игральные кости. Пусть X – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались ≥ 2 . Найдите дисперсию D( X ) .

73.Производится 10 независимых испытаний с вероятностью успеха 0.6 в каждом испытании. Пусть X – число успехов в испытаниях с номерами 1, 2,...,7 , Y – число успехов в испытаниях с номерами 5,6,...,10 . Найдите

дисперсию D[ X + 2Y ] .

74.На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 20 и 40 соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина X – число бросаний. Найдите математическое ожидание M ( X ) и дисперсию D( X ) .

34

75.В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается 9 палаток и 9 рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

76.В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события A в одном испытании равна 14 . Пусть T – время ожидания наступления события A 10

раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание M (T ) и

дисперсию D (T ).

77.Случайные величины X1 ,..., X10 распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным 4 . Найдите математическое ожидание M ( X12 +... + X102 ) .

78.Случайные величины независимы X1 ,..., X8 и распределены по геометриче-

скому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным 6 . Найдите математическое ожидание M{( X1 +... + X8 )2 }.

79.Случайные величины X ,Y распределены по геометрическому закону. Най-

дите дисперсию D[ X −Y ], если их математические ожидания равны 4 , а ко-

эффициент корреляции X и Y равен 0.5 .

80.Случайная составляющая выручки равна 4X , где X – биномиальная случайная величина с параметрами n = 500 и p = 12 . Случайная составляющая затрат имеет вид 50Y , где Y – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что X и Y – независимы, а M (Y ) = 5 .

81.Для пуассоновской случайной величины X отношение PP((XX==10)9) = 6 . Найдите математическое ожидание M[ X ].

35

● Ковариация и коэффициент корреляции

82. Даны математические ожидания случайных величин X и Y : M ( X ) = 30 ,

M (Y ) = 90 , их дисперсии D( X ) = 3 , D(Y ) = 5 и ковариация Cov ( X ,Y ) = 2 . Най-

дите математическое ожидание M ( X −Y ) и дисперсию D( X −Y ) .

83.Случайные величины X ,Y принимают только значения 0 и 1. Найдите дисперсию D( X −Y ) , если вероятности P (X =1)= P (Y =1)= 0.5 , а коэффици-

ент корреляции X и Y равен 0.7 .

84.Для случайных величин X ,Y даны их математические ожидания и диспер-

сии M ( X ) = M (Y ) = 6 , D( X ) = D(Y ) = 20 , а также коэффициент корреляции

0.3. Найдите математическое ожидание M[(X +Y )2 ] .

85.Случайные величины X1 ,..., X13 распределены по закону Пуассона с одина-

ковым математическим ожиданием, равным 9 . Найдите математическое ожидание M[ X12 +... + X132 ] .

86.Случайные величины X1 ,..., X5 независимы и распределены по закону Пуас-

сона с одинаковым математическим ожиданием, равным 7 . Найдите математическое ожидание M{( X1 +... + X5 )2 }.

87. Случайные величины X ,Y распределены по закону Пуассона. Найдите

M{(X +Y )2 } , если M (X )= 40 и M (Y )= 70 , а коэффициент корреляции X и Y

равен 0.8 .

3.Непрерывные случайные величины

●Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

88. Случайная величина X имеет функцию распределения

36

величины Y = 18 ln X .

91.Распределение непрерывной случайной величины X задано плотностью вероятности f (x). Найдите плотность вероятности g(x) случайной величи-

ны Y = 3 −4X .

92.Случайная величина X имеет плотность вероятности f (x) . Найдите плот-

ность вероятности g(x) случайной величины Y = X 9 .

93.Случайная величина X имеет плотность вероятности f (x) = e−2 xa+e2 x . Найдите

37

● Равномерное распределение на отрезке

97.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−5,14] . Най-

дите вероятность P(X1−5 > 6).

98.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−6,11]. Най-

дите вероятность P(X1−6 < 5).

99.Случайные величины X ,Y независимы и равномерно распределены на от-

резке [7,12] . Найдите математическое ожидание M{18(X −Y −3)2} .

100.Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [−8,8].

Найдите коэффициент корреляции случайных величин X и Y = X 5.

101.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−1,1]. Найдите

математическое ожидание M (X 2 ).

7

102. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0,1] . Найдите

дисперсию D(11X 5 ).

6

103.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [4, 6]. Найдите

M (e2 X ).

104.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0, 7]. Найдите

M{3 −ln(2X )} .

105.Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин X и Y с равномерными законами распределения:

X– на отрезке[2,3], Y – на отрезке [4, 6].

106.Случайные величины X и Y независимые и равномерно распределены на отрезках: X – на отрезке [0,1], Y – на отрезке [4, 7]. Найдите M{X (6X 4 +Y )} .

38

● Показательное распределение

107.Случайные величины X и Y независимые и распределены по показательному закону, причём M ( X ) =1, M (Y )= 2 . Найдите Cov(X Y , X −Y ) .

108.Случайные величины X1,..., X 6 независимы и распределены по показатель-

ному закону. Найдите M{(X1 +... + X 6 −3)2} , если M (X1 )=... = M (X 6 )= 2 .

109.Случайная величина X распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание M{(X +1)2} , если дисперсия D(X )= 49 .

110.Случайная величина X распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание M{(X −5) (8 − X )}, если дисперсия D(1−7 X )= 64 .

111.Случайная величина X распределена по показательному закону. Найдите

вероятность P(4 < X <12), если M (X )= ln42 .

● Нормальное распределение на прямой

112.Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием M (X )=15 и дисперсией D(X )=16 найдите вероятность P(X >19.4).

113.Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами

M (X )= 3 и D(X )=σ 2 . Найдите вероятность попадания X в интервал

(3 −3σ,3).

114.Для нормальной случайной величины X известно, что математическое ожидание M (X )= 37.7 и вероятность P(X < 30)= 0.24196. Найдите дисперсию

D(X ).

115. Для нормальной случайной величины X известно, что дисперсия D( X ) =81

и вероятность P(X <37)= 0.97128 . Найдите математическое ожидание m = M ( X ) .

39

116.Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием M (X )=12 и дисперсией D(X )= 9 найдите вероятность P(6.9 < X <16.5).

117.Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин X ,Y , Z,U равны 1. Найдите вероятность P(U + X −Y −Z < 3).

118.Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием M (X )=18 и дисперсией D(X )= 25 найдите вероятность P(X < 21.0).

119.Для независимых нормальных случайных величин X , Y известны их мате-

S= X1 +... + X 4 найдите вероятность P(| S −16 |< 185 σ).

121.Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием

M( X ) = 2.7 и дисперсией D( X ) = 9 найдите вероятность P(X > 2.4).

122.Случайные величины X и Y независимые и распределены по нормальному закону, причём D( X ) = 2 , M (Y ) = −2 . Найдите Cov(X Y , X ) .

4.Случайные векторы

●Двумерные дискретные случайные векторы

123.Найдите распределение случайной величины Z = X +Y и M (Z ) , если из-

вестно распределение случайного дискретного вектора ( X ,Y ) :

40