2. Математическая логика

1. Какие из следующих предложений истинные высказывания.

а) «3+2 = 5»;

б) «3 < 2»;

в) «Число слов в этом предложении равно семи»;

г) «Осень – лучшая пора года»;

д) «Знаете ли вы украинскую ночь?»;

е) «Во всяком четырехугольнике противоположные стороны равны»;

ж) «В некоторых четырехугольниках противоположные стороны равны».

2.Определите истинностные значения следующих высказываний.

а) «Париж расположен на Сене и Лондон расположен на Темзе»;

б) «Число 2 простое или это четное число»;

в) «Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3»;

г) «Если число n делится на 6, то n делится на 3»;

д) «Если число n делится на 3, то n делится на 6».

3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний:

а) «Дуна спутник Марса»;

б) «32 не делится на 4»;

в) «5 больше чем 2»;

г) «3 не более чем 5»;

д) «В треугольнике все стороны равны».

4. Следующие формулы запишите без отрицания:

а) б) в) г) д) е)

5. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В  высказывание «10 делится на 3». Определите истинностные значения формул:

а) (А  В); б) (В  А); в) (А  В); г) (В  А);

д) (А  В); е) (В  А); ж) (А  В); з) (В  А).

6. Составить таблицы истинности для формул:

а). (АВ)  (АВ); б). (АВ)  (АВ); в). (АВ)  (А(ВА));

г). ((А(ВА)) А); д). ((АВ)  (ВС)); е). (АВ)  С);

ж). (АВ)  ((ВС) (АС)); з). ((АВ)  (А С).

7. Проверить тождественную истинность формул:

а). (АВ)  (ВА) ; б). (АВ)  (АВ); в). А (АВ);

г). ((ВА)  В) В; д). (ВА)  ((ВА) В)); е). А  А.

8. Проверить эквивалентности формул:

а). (АА)  А; б). (А(ВС)) (АВ)(АС)); в). (А(АВ)) АВ ;

г). (ВА)  ВА; д). (АВ)  (АВ); е). (А (АВ))  АВ;

ж). (АВ)  (АВ)  А; з). (АВ)  (АВ)  А;

9. Установить, какие из следующих формул эквивалентны формуле  (АВ):

а). (АВ); б). (АВ); в). (АВ); г). (АВ); д). (АВ).

10. Проверить, являются ли следующие рассуждения логически правильными?

а). «Если Джонс – коммунист, то Джонс – атеист. Джонс – атеист. Следовательно, Джонс – коммунист».

б). «Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то Смит убийца или Джонс лжет. Если Смит не убийца, то Джонс не встречал этой ночью Смита, и убийство произошла после полуночи. Если убийство произошло после полуночи, то Смит убийца или Джонс лжет. Следовательно, Смит убийца».

в). «Я заплатил бы за ремонт телевизора, если бы он стал работать. Он же не работает. Поэтому я платить не буду».

г). «Он сказал, что придет, если не будет дождя. Но идет дождь. Значит, он не придет».

д). «Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы. А не спроси его, он бы и не сказал ей. Но она узнала. Значит, она его спросила».

е). «Коля и Вася никогда не бывают вместе. Маша придет на вечеринку только вместе с Колей, а Вася – только вместе с Глашей. Вечеринка веселая, только если на ней присутствуют и Маша, и Глаша. Значит, веселых вечеринок не бывает».

ж). «Если по ТВ не идет интересное кино, то в общежитии собирается веселая компания. Веселая компания всегда шумна. При шуме готовиться к занятиям невозможно. Если по ТВ идет интересное кино, то невозможно не смотреть ТВ. Смотреть ТВ и готовиться к занятиям нельзя. Значит, в общежитии невозможно готовиться к занятиям».

11. Проверить, являются ли следующие рассуждения логически правильными?

а) «Всякий парикмахер в Джонсвилле бреет всех тех и только тех, кто не бреется сам. Следовательно, в Джонсвилле нет ни одного парикмахера».

б). «Кто храбр, тот достоин славы. Некоторые хвастуны трусы. Следовательно, некоторые хвастуны недостойны славы».

в). «Все шутки предназначены для того, чтобы смешить людей. Ни одно постановление Государственной Думы не является шуткой. Следовательно, ни одно такое постановление не предназначено для того, чтобы смешить людей».

г). Заходит ковбой в бар и говорит бармену: «Мне налей и всем налей. Такой уж я человек: когда я пью, все пьют». Через некоторое время: «Мне налей и всем налей. Такой уж я человек: когда я пью, все пьют». Затем кладет на стойку деньги: «С меня возьми и со всех возьми. Такой уж я человек: когда я плачу, и все платят».

1. ПАРАДОКС КУЧИ. Одна песчинка не является кучей, две песчинки тоже не куча, три песчинки тоже не куча, и т. д. Указать наименьшее число песчинок, которые образуют кучу.

2. АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА. В начальный момент Ахиллес находится на некотором расстоянии S₀ от черепахи и пытается догнать ее. Но пока Ахиллес преодолеет S₀, черепаха отползет на некоторое расстояние S₁. Аналогично, пока Ахиллес преодолеет S₁, черепаха отползет на некоторое расстояние S₂, и т. д. Ясно, что здесь возникает бесконечная последовательность расстояний: S₀, S₁, S₂, S₃, .... . ВОПРОСЫ: а) Догонит ли Ахиллес черепаху?

б) Является ли множеством указанная последовательность расстояний?

140