§3. Алгебра высказываний

Предметом изучения математической логики являются рассуждения в математике. В специальных разделах этой дисциплины изучаются такие понятия, как "математическое доказательство", "логический вывод", "интерпретация", "модель", "истинность", "вычислимость" и "алгоритм". Естественно, что когда математическая задача решена или некоторая математическая теорема доказана, или какое-то вычисление закончено, то не возникает потребности определять что такое "решение", "доказательство" или "вычисление". Но если на протяжении многих лет какая-то задача упорно не решается, или некоторое утверждение не удается ни доказать, ни опровергнуть, то возникают вопросы: "Имеет ли эта задача решение?", "Можно ли вообще доказать это утверждение?" Чтобы ответить на подобные вопросы приходится уточнять, что такое "решение", "доказательство", "вычисление" и т. д.

Впервые такие проблемы встали перед древнегреческими математиками в связи с открытием несоизмеримых отрезков (Пифагор, 6-й век до н. э.). Пифагорейцы рассматривали только рациональные числа, но оказалось, что длина диагонали единичного квадрата (равная 2), не является рациональным числом. Следовательно, не каждый отрезок имеет рациональную длину. Тогда пифагорейцы отказались рассматривать такие факты и пытались построить всю математику на геометрической основе. Но и на этом пути непреодолимым препятствием для них стали задачи о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга. И лишь спустя 100 лет были введены иррациональные числа, тогда проблемы, связанные с несоизмеримыми отрезками, исчезли. Но, например, задача о квадратуре круги была решена только в 1882 году.

В 17-м веке немецкий математик Г. Лейбниц выдвинул идею построения универсального языка для всей математики, с помощью которого можно строго описывать всевозможные понятия и рассуждения в математике. Но только в 19-м в. веке в работах Дж. Буля, О. де Моргана и Г. Фреге такой язык

алгебры высказываний и логики предикатов был построен. Основные понятия этого языка рассматриваются в этом разделе.

Определение 4. Высказыванием называется любое утверждение, о котором имеет смысл судить истинно оно или ложно.

В обычном разговорном языке высказывания выражаются повествовательными выражениями, в отличие от них, например, вопросы и приказы выражаются вопросительными и повелительными предложениями.

Пример 12. а) «Луна вращается вокруг Земли», «Число 7 больше, чем 5» - истинные высказывания;

б) «Марк Твен – автор «Золотого теленка»», «22=5» - ложные высказывания;

в) «Завтра будет солнечная погода», «Сегодня понедельник» - тоже высказывания, хотя без дополнительных уточнений нельзя определенно решить истинны они или ложны;

г) «Что такое высказывание?», «Запишите следующее определение» - вопрос и команда, соответственно.

Раздел, в котором изучаются высказывания, называется алгеброй высказываний. Ее основная цель: описать схемы правильных рассуждений. Истинность или ложность какого-либо высказывания можно определить, только вникнув в его содержание. Однако в данном разделе ставится цель изучить основные логические связки, с помощью которых сложные высказывания составляются из простейших высказываний. И чтобы придать общность таким исследованиям содержание высказываний не рассматривается, а просто предполагается, что имеется некоторый набор простейших высказываний Р₁, Р₂, Р₃, … , каждое из которых является истинным или ложным. Остальные высказывания образуются из простейших с помощью упомянутых выше логических связок.

Основными символами языка алгебры высказываний являются:

Р₁, Р₂, Р₃, … - символы простейших высказываний;

А, В, С, А₁, А₂, А₃, … - высказывательные переменные;

, , ,  - логические символы;

,  - левая и правая скобки.

Определение 5. Правильно образованными формулами (сокращенно: ПОФ) алгебры высказываний являются выражения, удовлетворяющие следующим условиям:

1. символы простейших высказываний и высказывательные переменные являются ПОФ;

2. если А и В – ПОФы, то (А), (АВ), (АВ), (АВ) являются ПОФ;

3. Других ПОФ нет.

Пример 13. а). Следующие выражения являются ПОФ:

А, Р₁, (А), (А(АВ)), ((АВ)(ВА)), ((АВ)), (А(ВС));

б). В следующих выражениях отсутствуют необходимые скобки:

(А), (ААВ), (АВ), (АВВА) – не ПОФ.

При строгом доказательстве утверждений алгебры высказываний рассматриваются только ПОФ. Количество логических связок, входящих в ПОФ, называется ее логической глубиной. И многие утверждения о ПОФ доказываются методом индукции по логической глубине ПОФ. В данном курсе математическая логика, как и некоторые другие разделы, имеют ознакомительный характер, и поэтому строгие доказательства некоторых утверждений алгебры высказываний не рассматриваются. Кроме того, чтобы упростить записи очень сложных ПОФ, разрешается в них сокращать внешние или некоторые внутренние скобки, если это не нарушает смысл ПОФ и не приводит к каким-либо недоразумениям. А чтобы выделить какую-нибудь часть формулы, можно использовать другие виды скобок: [, ], {, }. Поэтому при изложении алгебры высказываний рассматривают формулы, не являющиеся ПОФ в строгом смысле, и вместо термина ПОФ используют слово «формула».

Если некоторая формула А обозначает истинное высказывание, то пишут А = И, если же А обозначает ложное высказывание, то пишут А = Л. При этом символы И, Л называются истинностными значениями формул. Логические символы , , ,  обозначают определяемые ниже логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, соответственно.

Определение 6. Отрицание – логическая операция, которая каждому высказыванию А сопоставляет высказывание (А), являющееся истинным, если А = Л, и ложным, если А = И.

Зависимость между истинностными значениями высказываний А и (А) выражается следующей таблицей, которая называется таблицей истинности для отрицания:

А	А
И	Л
Л	И

В разговорном языке формула А читается как: «не А», «не верно, что А» или « А не выполняется». Разрешается вместо А писать .

Определение 7. Конъюнкция – логическая операция, которая двум высказываниям А и В сопоставляет высказывание (АВ), являющееся истинным в том и только том случае, когда А = И и В = И.

Конъюнкции соответствует следующая таблица истинности:

А	В	(АВ)
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

В разговорном языке формула (АВ) читается как: «А и В», «не только А, но и В», « А вместе с В», «А , хотя и В» и т. п. Разрешается вместо (АВ) писать (А&В).

Определение 8. Дизъюнкция – логическая операция, которая двум высказываниям А и В сопоставляет высказывание (АВ), являющееся ложным в том и только том случае, когда А = Л и В = Л.

Дизъюнкции соответствует следующая таблица истинности:

А	В	(АВ)
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

В разговорном языке формула (АВ) читается как: «А или В», «А или В, или оба», «либо А, либо В, либо оба».

Определение 9. Импликация – логическая операция, которая двум высказываниям А и В сопоставляет высказывание (АВ), являющееся ложным в том и только том случае, когда А = И и В = Л.

В разговорном языке формуле (АВ) соответствуют обороты: «если А , то В», «из А следует В», «коль скоро А, то В», «в случае А имеет место В»,

«А необходимо для В», «для В достаточно А». Разрешается вместо (АВ) писать (АВ) или (АВ). Импликации соответствует следующая таблица истинности:

А	В	(АВ)
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

В импликации (АВ) высказывание А называется посылкой и высказывание В – заключением. Согласно таблице истинности, из истинной посылки А должно следовать истинное заключение В, в противном случае импликация (АВ) ложна. В случае ложной посылки импликация истинна при любых значениях заключения. Этот факт, часто выражают словами: «Из истины следует истина, а из лжи следует что угодно».

Например, пусть А = «Луна сделана из твердого сыра» и В = «среди студенток университета имеются ведьмы». Тогда высказывание: «Если Луна сделана из твердого сыра, то среди студенток университета имеются ведьмы», описывается формулой (АВ). Здесь посылка А = Л, поэтому формула (АВ) истинна.

Произвольная формула алгебры высказываний F(А₁, А₂, …, А_к), зависящая от переменных А₁, А₂, …,А_к, имеет определенную таблицу истинности. В этой таблице число столбцов равно к + 1, и число строк равно 2^к +1. В первых к столбцах, начиная со второй строки, записываются всевозможные наборы истинностных значений переменных А₁, А₂, …,А_к. Число таких наборов равно 2^к, и их запись производится следующим образом:

1) первый столбец разбивается на 2 части, затем 1-я часть заполняется значениями И, 2-я часть заполняется значениями Л;

2) второй столбец разбивается на 4 части, затем 1-я часть заполняется значениями И, 2-я часть заполняется значениями Л, 3-я часть заполняется значениями И, 4-я часть заполняется значениями Л;

3) третий столбец разбивается на 8 частей, затем эти части заполняются поочередно значениями И или Л; и т. д.

В последнем столбце таблицы истинности записываются значения рассматриваемой формулы F(А₁, А₂, …, А_к) на соответствующих наборах.

А1	А2	…	Ак	F(А1, А2, …, Ак)
И	И	…	И	F(И, И, …, И)
…	…	…	…	…
И	И	…	Л	F(И, И, …, Л)
И	Л	…	И	F(И, Л, …, И)
…	…	…	…	…
И	Л	…	Л	F(И, Л, …, Л)
Л	И	…	И	F(Л, И, …, И)
…	…	…	…	…
Л	И	…	Л	F(Л, И, …, Л)
Л	Л	…	И	F(Л, Л, …, И)
…	…	…	…	…
Л	Л	…	Л	F(Л, Л, …, Л)

Для удобства вычисления значений F(А₁, А₂, …, А_к) иногда вводятся дополнительные столбцы, в которых выписываются значения подформул.

Пример 14. Построить таблицы истинности для формул:

Решение. 1). Формула содержит две переменные и подформулу , поэтому ее рабочая таблица истинности имеет вид:

А	В
И	И	И	Л
И	Л	Л	И
Л	И	Л	И
Л	Л	Л	И

Здесь в 3-м столбце расположены промежуточные значения подформулы , эти значения играют вспомогательную роль, и в итоговой таблице истинности 3-й столбец писать не обязательно.

2). Формула содержит три переменные и подформулы поэтому ее рабочая таблица истинности имеет следующий вид:

А	В	С
И	И	И	И	Л	Л	И
И	И	Л	И	Л	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И	И

В ней в 4-м, 5-м, 6-м столбцах расположены промежуточные значения соответствующих подформул.

Определение 10. Формула А алгебры высказываний называется тождественно истинной или тавтологией, если она истинна при любых истинностных значениях входящих в нее букв, обозначение: А .

В общем случае тождественно истинные формулы выражают логически правильные рассуждения. Более того, следующая теорема показывает, что все тождественно истинные формулы алгебры высказываний можно использовать для получения новых тавтологий, путем подстановок в них других формул. Это означает, что они являются также схемами правильных рассуждений.

Теорема 4. Пусть F(А₁, А₂, …, А_n) – формула алгебры высказываний, зависящая от переменных А₁, А₂, …, А_n, и В₁, В₂, …, В_n – некоторые другие формулы тоже алгебры высказываний. Пусть формула F(В₁, В₂, …, В_n) получена из F(А₁, А₂, …, А_n) в результате подстановки В₁, В₂, …, В_n вместо А₁, А₂, …,А_n, соответственно. Тогда

если F(А₁, А₂, …, А_n), то F(В₁, В₂, …, В_n).

Доказательство. Значениями переменных А₁, А₂, …, А_n, являются И или Л, и, если F(А₁, А₂, …, А_n), то при любом наборе таких значений F(А₁, А₂, …, А_n) = И. Возможными значениями формул В₁, В₂, …, В_n также являются И или Л, поэтому формула F(В₁, В₂, …, В_n) будет принимать только значение И на любом наборе своих переменных, т. е. верно F(В₁, В₂, …, В_n). Теорема доказана.

Теорема 5 (основные тавтологии алгебры высказываний). Верны следующие тавтологии.

1. (А (ВА));

2. ((АВ)  ((А (ВС))  (АС));

3. ((АВ) А);

4. ((АВ) В);

5. (А(В (АВ)));

6. ( А  (АВ));

7. ( В  (АВ));

8. ((АС)  ((В С)  ((АВ)С)));

9. ((АВ)  ((А В)  А));

10. (А А).

Доказательство осуществляется путем построения таблиц истинности этих формул.

Следующий факт является еще одним подтверждением того, что тождественно истинные формулы описывают схемы правильных суждений. Существует аксиоматический способ исследования высказываний, при котором истинностные значения высказываний не рассматриваются, а вместо этого некоторые формулы алгебры высказываний объявляются аксиомами и, с помощью специального правила вывода modus ponens, из этих аксиом выводятся другие формулы. Этот метод называется исчислением высказываний, и выводимые в нем формулы называются теоремами. Считается, что эти теоремы описывают правильные рассуждения. Оказывается, что аксиомами исчисления высказываний являются все формулы, получаемые из формул предыдущей теоремы 5 путем подстановки вместо букв А, В, С любых других формул алгебры высказываний. Тогда, по теореме 5, все аксиомы исчисления высказываний являются тождественно истинными формулами алгебры высказываний. Далее, в следующей теореме показывается, что правило modus ponens (или правило отделнения), применяемое к тождественно истинным формулам, дает тождественно истинную формулу. Следовательно, все теоремы исчисления высказываний являются тождественно истинными формулами. Обратное утверждение также верно, (см. Кл., с. ).

Таким образом, два различных метода исследования высказываний описывают одни и те же схемы правильных рассуждений. Поэтому формула алгебры высказываний, описывающая правильное рассуждение, должна быть тождественно истинной.

Теорема 6. Для любых формул А и В алгебры высказываний, если верны отношения А и АВ, то верно В.

Доказательство. Пусть верны отношения А и АВ, тогда А = И и АВ = И при любых истинностных значениях переменных, входящих в эти формулы. Тогда, по таблице истинности для импликации, В = И так же при любых переменных, а это означает, что верно отношение В. Теорема доказана.

Обычно свойства математических операций описываются с помощью тождеств или равенств, включающих эти операции. В алгебре высказываний вместо равенства используется следующее отношение эквивалентности.

Определение 11. Формулы F₁ и F₂ называются эквивалентными, если их значения совпадают при любых значениях входящих в них переменных. (Обозначение: F₁  F₂ ).

В общем случае формулы F₁ и F₂ могут зависеть от разных переменных, но при сравнении этих формул считается, что каждая из них зависит от всех переменных входящих в эти формулы, при этом такая зависимость может быть фиктивной. Такое соглашение позволяет доказывать эквивалентности путем построения объединенной таблицы истинности сразу для всех сравниваемых формул так, как это делалось в предыдущем примере.

Пример 15. Доказать, что (А(АВ))  А.

Решение. Считается, что формула А зависит от переменных А и В, и составляется объединенная таблицы истинности данных формул.

А	В	(А(АВ))	А
И	И	И	И
И	Л	И	И
Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л

В 3-м столбце записаны истинностные значения первой формулы, в 4-м столбце – значения второй формулы. Эти столбцы одинаковые, следовательно, эти формулы эквивалентны.

Теорема 7 (основные эквивалентности алгебры высказываний). При любом выборе формул А, В, С выполняются следующие эквивалентности.

1. АВ  ВА; 1. АВ  ВА. (коммутативность)

2. (АВ)С  А(ВС); 2. (АВ)С  А(ВС). (ассоциативность)

3. А  (ВС)  (АВ)  АС); (дистрибутивность)

3. А  (ВС)  (АВ)  АС). (дистрибутивность)

4. (АВ)  A  А; 4. (АВ)  A  .А (законы поглощения)

5. (АВ) АВ; 5. (АВ) АВ; (законы де Моргана)

6. АА  А; 6. АА  А. (идемпотентность)

7.(А)  А. (закон двойного отрицания)

8. А  А  Л;  (закон противоречия)

8. А А  И. (закон исключенного третьего)

9. И  А  А; 9. Л  А  А.

10. Л  А  Л; 10. И  А И.

11.И Л; 11.Л И.

12. (А  В)  (А  В).

(Здесь И и Л обозначают тождественно истинное и тождественно ложное высказывания соответственно).

Как и в теории множеств, эти эквивалентности (кроме 7 и 12) объединены в пары ( 1 и 1, 2 и 2, и т. д.), чтобы продемонстрировать закон двойственности алгебры высказываний. Эквивалентность, полученная из другой эквивалентности заменой всех вхождений  на ,  на , И на Л, Л на И, называется двойственной исходной эквивалентности. Указанный закон двойственности утверждает, что если некоторая эквивалентность является верной, то и двойственная ей эквивалентность так же верна.

Основные эквивалентности применяются для упрощения формул алгебры высказываний, и это применение основано на следующем утверждении, аналогичном теореме 2.

Теорема 8 (о замене эквивалентных формул). Пусть в некоторую формулу F алгебры высказываний входит подформула А и пусть формула F^* получается из F заменой А на формулу В. Тогда если А  В, то F  F^*.

Доказательство осуществляется индукцией по логической глубине формулы F. (см. с. ).

Пример 16. Упростить формулу (А((ВС)  (СА ))).

Решение. По теоремам 5 и 6 получается следующая последовательность эквивалентностей:

(А((ВС)  (СА ))) (А((ВС)  (С А ))) (А((ВС)  (С А ))) (А(ВС)  С А )

(А(ВС)  С) (А ((ВС)  С)) (А С).

Ответ: (А((ВС)  (СА )))  (А С).

Многие математические утверждения имеют специальные названия вида: необходимое условие, достаточное условие или необходимое и достаточное условие некоторого свойства Р. Термин «необходимое условие» обозначает некоторое условие А, без которого свойство Р не может выполняться, при этом говорят, что А необходимо для выполнения свойства Р. В алгебре высказываний это такое утверждение записывается формулой (Р  А).

Пример 17. «Чтобы натуральное число n делилось без остатка на 15 необходимо, чтобы оно делилось без остатка на 5». В этом утверждении высказывание «n делится без остатка на 5» является необходимым условием. Но это высказывание не является достаточным условием для делимости n на 15.

Термин «достаточное условие» обозначает некоторое условие А, выполнение которого влечет выполнение свойства Р, при этом говорят, что А достаточно для выполнения свойства Р. В алгебре высказываний это такое утверждение записывается формулой (А  Р).

Пример 18. «Если натуральное число n делится без остатка на 3 и 5, то оно делится без остатка на 15». В этом утверждении высказывание

« n делится без остатка на 3 и 5» является достаточным условием для делимости n на 15.

Термин «необходимое и достаточное условие» обозначает некоторое условие А, которое одновременно является необходимым и достаточным условием выполнения свойства Р. В алгебре высказываний это такое утверждение записывается формулой (P  A). Словесно такие утверждения формулируются в виде: « Р истинно тогда и только тогда, когда истинно А», « Р истинно, если и только если истинно условие А», «для истинности Р необходимо и достаточно, чтобы А было истинным».

Например, высказывание « n делится на 3 и 5» является необходимым и достаточным условием делимости числа n на 15. Это формулируется в виде: «Число n делится на 15 тогда и только тогда, когда n делится на 3 и 5».

Кроме рассмотренной выше ситуации, формулы алгебры высказываний могут использоваться для анализа различных рассуждений. Например, рассуждение «127 – простое число, или не верно, что 127 - простое число», описывается формулой (В  В). Эта формула является тождественно истинной, и потому данное рассуждение является логически правильным.

В общем случае правильные рассуждения представляют собой конечную последовательность высказываний, являющихся обоснованием того, что последнее высказывание в этой последовательности (заключение) может быть выведено из некоторых начальных высказываний (посылок). При этом если считать посылки вывода истинными (на основании имеющегося опыта, эксперимента или убеждения), а принципы, использованные в цепи рассуждений, правильными, то и заключение должно быть истинным. В алгебре высказываний эта схема рассуждений описывается отношением логическое следствие.

Определение 12. Пусть F₁, F ₂, … , F _к и G  формулы алгебры высказываний, зависящие от одного и того же списка переменных А₁, А₂, … , А_n. И пусть для любого набора истинностных значений переменных А₁, А₂, … , А_n, на котором все формулы F₁, F ₂, … , F _к истинны, формула G тоже истинна. Тогда G является логическим следствием F₁, F ₂, … , F _к. Обозначение:

F₁, F ₂, … , F _к G. (40)

Так как указанные формулы зависят от одинакового списка переменных, то возникает следующее правило проверки данного отношения. Строится объединенная таблица истинности для всех рассматриваемых формул. Затем в ней рассматриваются строки, в которых все посылки F₁, F ₂, … , F _к имеют одновременно значение И, и проверяются значения заключения G. Если во всех таких строках G = И, то отношение (40) верно.

Пример 19. Доказать, что (ВА) С, В, А С (АВ).

Решение. Считается, что каждая посылка зависит от переменных А, В, С, и строится объединенная таблица истинности.

А	В	С	(ВА) С	В	А С	(АВ)
И	И	И	Л	Л	И	Л
И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	И
Л	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	И

В 3-й, 7-й, 8-й строках все посылки истинны, в этих строках заключение тоже истинно, следовательно, проверяемое отношение верно.

Пример 20. Является ли следующее рассуждение логически правильным? «Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр и на него можно положиться. Он не принадлежит нашей компании. Значит, он не храбр и на него нельзя положится».

Решение. Пусть буква А обозначает высказывание «он принадлежит к нашей компании», В обозначает «он храбр», С обозначает «на него можно положиться». Тогда посылки можно записать в следующем виде: А(ВС), А, а искомое заключение будет ВС. Требуется проверить отношение:

А(ВС), А ВС.

Решение. Строится объединенная таблица истинности.

А	В	С	А(ВС)	А	ВС.
И	И	И	И	Л	Л
И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И	Л
Л	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	И	И	И

В 5-й строке все посылки истинны, но заключение ложно, следовательно, проверяемое рассуждение не является логически правильным. При этом

А = Л, В = И, С = И, следовательно, может случиться, что он не принадлежит к нашей компании, но он храбр и на него можно положиться.

Пример 21. Доказать, что А  (В  С), D  А, B D  C.

Решение. Применяется метод доказательства от противного. Пусть все посылки истинны и, от противного, заключение ложно:

А (В  С) = И, D  А = И, B = И, D  C = Л.

Из последнего предположения, по таблице истинности для импликации, получается, что D = И и C = Л. Отсюда D = Л, тогда из второго предположения, по таблице истинности для дизъюнкции, получается, что А = И. Найдены значения всех буквы, они подставляются в первую формулу: И  (И  Л) – это равно Л, что противоречит первому предположению. Полученное противоречие означает, что заключение не может быть равным Л, значит, оно равно И.

Таким образом, из истинных посылок получается истинное заключение, это означает, что данное отношение верное.

Пример 22. Является ли следующее рассуждение логически правильным: «Если Джон пойдет завтра на первое занятие, то он должен будет встать рано, а если Джон пойдет вечером на танцы, то он ляжет спать поздно. Если Джон ляжет спать поздно, а встанет рано, то он будет довольствоваться пятью часами сна. Джон просто не в состоянии обойтись пятью часами сна. Следовательно, Джон должен или пропустить завтра первое занятие, или не ходить вечером на танцы»?

Решение. Пусть буква А обозначает высказывание «Джон пойдет завтра на первое занятие», В обозначает «Джон должен встать рано», С обозначает «Джон пойдет вечером на танцы», D обозначает «Джон ляжет поздно», Е обозначает «Джон довольствуется пятью часами сна». Тогда посылки можно записать в следующем виде: (А  В)  (С  D), (D  В)  E, Е, а искомое заключение будет А  С. Требуется проверить отношение:

(А  В)  (С  D), ((D  В)  E), Е (А  С).

Здесь 5 переменных, поэтому объединенная таблица истинности должна содержать 2⁵+1=33 строки и 9 столбцов, - это много. Применяется метод доказательства от противного. Пусть все посылки истинны и, от противного, заключение ложное:

(А  В)  (С  D) = И, ((D  В)  E) = И, Е = И, (А  С) = Л.

Из последнего предположения, по таблице истинности для дизъюнкции, получается, что А = Л и С = Л. Отсюда следует, что А = И и С = И. Из первого предположения, по таблице истинности для конъюнкции, получается, что

(А  В) = И и (С  D) = И. Значения А и С известны, тогда, по таблице истинности, для импликации получается, что В = И и D = И. Следовательно,

(D  В)=И. Теперь, из последнего равенства и из второго предположения, по таблице истинности для импликации, получается, что Е = И. Но это противоречит третьему предположению Е = И. Полученное противоречие означает, что заключение не может быть равным Л, значит, оно равно И.

Вывод: данное рассуждение логически правильное.