Упражнения

1. Множества

1. Пусть R  множество всех вещественных чисел, N – множество натуральных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел. Указать какие из этих множеств являются подмножествами других множеств.

2. Пусть А  множество делителей числа 72, В – множество делителей числа 54. Найти множества: а) АÈВ; б) АÇВ; в) А \ В; г) В \ А.

3. Пусть множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 6, и множество С – из натуральных чисел, делящихся на 5. Записать символически эти множества и найти множества: АÇВ, АÇС, ВÇС, АÇВÇС.

4. Пусть множество А состоит из натуральных делителей числа 70, В - из натуральных делителей числа 105. Найти множества: а) АВ; б) АВ; в) А \ В; г) В \ А.

5. Пусть множество А состоит из натуральных делителей числа 72, В - из натуральных делителей числа 54. Найти множества: а) АВ; б) АВ; в) А \ В; г) В \ А.

6. Пусть множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 6, и множество С – из натуральных чисел, делящихся на 5. Записать символически эти множества и

найти множества а) АВ, б) АС, в) ВС, г) АВС.

7. Пусть А = ( ; 5], B = [1; 3], C = [2; +). Изобразите на чертеже множества: а) А \ В; б) (А В) С; в) (ВС) \ А.

8. Найти множества АВ, АС, ВС, (АВ) С, АВС, если

1). A = [0; 3], B = (1; 5), C = 2; 0]; 2). A = (; 1], B = [1; ), C = (0; 10).

9. Построить интервалы изменения переменного х, удовлетворяющего неравенствам:

1). (х1)(х2) £ 0; 2). (х1)(х2) ³ 0; 3). (х3)(х5) < 0; 4). (х3)(х5) >0;

5). 4 – х² ³ 0; 6). х²–4 ³ 0; 7). |x| £ 1; 8). |x+1| £ 2.

10. Пусть А и В  множества точек М(х, у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам 2х + 3у  6, 3х  у  3, соответственно. Изобразите множество АВС, где С  множество точек М(х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам х  0, у  0.

11. Пусть А и В  множества точек М(х, у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам 3х + 5у  15, 5х  3у  15, соответственно. Изобразите множество АВС, где С  множество точек М(х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам х  0, у  0.

12. С помощью равенств теоремы 1 доказать следующие равенства:

а). (АВD)  (АВСDE)  (АDА) = АВD;

б). (АВС)  (АВС) В С = U;

в). (АВ С D)  (АС)  (BC)  (C D) = C.

13. Из 64 студентов занимаются спортом 40 человек, любят слушать музыку 30 человек. При этом занимаются спортом и любят слушать музыку 21 студент. Сколько человек не занимается спортом и не любит слушать музыку?

14. Среди 35 туристов одним английским языком владеют 11 человек, английским и французским – 5 человек. 9 человек не владеют ни английским, ни французским. Сколько человек владеют только французским языком?

15. Из 40 учащихся книгу А читали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – также 22 ученика. Книгу А или В читали 33 ученика, книгу А или С – 32, В или С – 32; все три книги прочли 10 учеников. Сколько учеников прочли только по одной книге? Сколько учеников не читали ни одной из этих книг?

16. В течение недели в кинотеатре демонстрировались фильмы А, В, С. Из 40 школьников каждый просмотрел либо все 3 фильма, либо 1 фильм. Кроме того, фильм А видели 13, фильм В – 16, фильм С – 19 ребят. Сколько ребят просмотрели все 3 фильма?

4. 17. Из 64 студентов занимаются спортом 40 человек, любят слушать музыку 30 человек. При этом занимаются спортом и любят слушать музыку 21 студент. Сколько человек не занимается спортом и не любит слушать музыку?

18. Среди 35 туристов одним английским языком владеют 11 человек, английским и французским – 5 человек. 9 человек не владеют ни английским, ни французским. Сколько человек владеют только французским языком?

19. Среди 57 школьников в шахматы умеют играть 35 человек, в шашки – 40 человек, причем в обе игры умеют играть 21 человек. Сколько человек не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки?

20. Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

21. В классе 30 учеников. Все, кроме двух, имеют оценки «5», «4» и «3». Число учащихся, имеющих оценки «5» – двенадцать, «4» – четырнадцать, «3» – шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и на «3», трое – лишь «5» и на «4» и четверо лишь

22. Доказать, что следующие множества счетные: а) множество нечетных чисел; б) множество простых чисел; в) множество троек целых неотрицательных чисел.

23. Доказать, что множество точек окружности равномощно множеству точек прямой линии.

24. Доказать, что множество точек плоскости равномощно множеству точек прямой линии.