3.2. Линеаризация нелинейных элементов суим

Нелинейные элементы СУИМ можно линеаризовать при условии несущественности нелинейностей и достаточно малых отклонений координат в окрестности точки стационарного режима (рабочей точки).

Любую непрерывную функцию y(x) в окрестности рабочей точки x = x₀ можно разложить в ряд Тейлора

(3.1)

В окрестности рабочей точки при малых отклонениях переменной x от x₀ выражение (3.1) можно аппроксимировать линейной формой

, (3.2)

где k – тангенс угла наклона касательной к кривой в точке x₀.

Выражение (3.2) можно преобразовать к виду

(3.3)

или . (3.4)

Данный метод линеаризации иногда еще называют методом касательной линеаризации в рабочей точке x₀ или вдоль рабочей траектории

.

Рассмотрим пример линеаризации нелинейного уравнения, описывающего зависимость электромагнитного момента M двигателя постоянного тока от тока якоря i_я и магнитного потока Ф,

M = C_мФ i_я , (3.5)

где C_м – конструктивная постоянная двигателя.

Уравнение (3.5) относится к классу нелинейных уравнений, поскольку содержит произведение координат электродвигателя – магнитного потока и тока якоря. Линеаризуем (3.5) в окрестности рабочей точки M₀(Ф₀, i_я0), соответствующей, например, номинальному режиму работы двигателя, т.е. при M₀ = M_н, Ф₀ = Ф_н, i_я0 = i_ян :

. (3.6) Пренебрегая в (3.6) произведением приращений координат получим линеаризованное уравнение в приращениях

. (3.7)

В этом уравнении Ф₀ и i_я0 предполагаются величинами постоянными, а, следовательно, уравнение (3.7) относится к классу линейных (линеаризованных в рабочей точке) уравнений.

Если управление двигателем осуществляется одновременно по цепям якоря и магнитного потока (цепи возбуждения двигателя), то рабочая точка в процессе управления будет смещаться относительно начального (номинального) режима, образуя семейство рабочих точек или рабочую траекторию. В этом случае при применении уравнения (3.7) говорят о линеаризации исходного нелинейного уравнения (3.5) вдоль рабочей траектории

M₀ = C_м Ф₀ i _я0 .

При исследовании нелинейных СУИМ в частотной области применяют метод гармонической линеаризации, применимый для линеаризации не только несущественных, но и существенных нелинейностей типа «идеальное двухпозиционное реле». При исследовании стохастических СУИМ применяют метод стохастической линеаризации [6,7].

3.3. Статические и динамические характеристики суим

3.3.1. Статика суим. Коэффициенты ошибок суим по положению, скорости и ускорению

Статические режимы СУИМ характеризуются установившимися состояниями при неизменных входных воздействиях. Уравнения статики легко получить из уравнений динамики СУИМ, приравняв в них нулю все производные по времени переменных (координат состояния) и внешних воздействий. В операторных уравнениях и структурных схемах линейных САУ это эквивалентно приравниванию нулю оператора p. Таким образом, статическая характеристика системы (элемента) – это зависимость выходной переменной системы (элемента) от какой-либо входной переменной в статическом (установившемся) режиме.

Примером статической характеристики является механическая характеристика электропривода – зависимость угловой частоты вращения вала двигателя от момента статической нагрузки на валу в установившихся режимах. Для электропривода постоянного тока такая характеристика приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Статическая механическая характеристика

двигателя постоянного тока

Как видим, при увеличении нагрузки на валу двигателя скорость вращения вала двигателя падает и появляется статическая ошибка регулирования скорости. При изменении нагрузки от нуля до номинального значения M_сн скорость вращения уменьшается от скорости холостого хода до номинальной скорости . В номинальном режиме абсолютная величина статической ошибки регулирования скорости вращения

. (3.8)

Найдем выражения для установившейся ошибки регулирования в общем случае изменения входного (задающего или возмущающего) воздействия линейной СУИМ.

Передаточная функция любого замкнутого контура регулирования электропривода с отрицательной обратной связью (рис. 3.2) определяется передаточными функциями прямого и обратного каналов регулирования [10]:

. (3.9)

Рис. 3.2. Структурная схема замкнутого контура регулирования

Отсюда изображение ошибки регулирования в системе

, (3.10)

а передаточная функция по ошибке

. (3.11)

Как следует из (3.3), ошибка регулирования будет стремиться к нулю при X = const, если , что предполагает реализацию бесконечно большого усиления в устройстве управления и может привести к неустойчивости системы. Кроме того, реальные динамические звенья обладают конечными коэффициентами усиления, что приводит к возникновению ненулевой статической ошибки регулирования. Такие системы принято называть статическими.

Между тем, статическая ошибка регулирования в системе при неизменном входном воздействии X может быть сведена к нулю, если сделать равной нулю передаточную функцию при p = 0. Для этого достаточно в прямой или обратный канал регулирования системы, приведенной два рис. 3.2, ввести интегрирующее звено. На практике интегрирующее звено вводят в структуру устройства управления, применяя И, ПИ, ПИД регуляторы. Это обеспечивает и, тем самым, нулевую статическую ошибку регулирования. Такие системы принято называть астатическими нулевого порядка по задающему или (и) возмущающему воздействию. Для придания системе астатизма более высокого (первого) порядка в структуру регулятора вводят два интегратора. Часто в структуре самого объекта управления имеются интегрирующие звенья, например ГИМ, что заведомо придает системе свойство астатизма.

Величина установившейся ошибки регулирования, наличие и порядок астатизма замкнутой САУ определяются не только ее моделью, но и видом входного сигнала. Определим, как вид входного воздействия влияет на величину установившейся ошибки.

Передаточную функцию разомкнутой СУИМ запишем в виде

, (3.12)

где K – коэффициент передачи,

p_j, z_i – полюсы и нули передаточной функции (3.5).

В установившихся режимах (при p = 0) передаточную функцию (3.4) можно записать в виде

, (3.13)

где K_i – коэффициент ошибки системы, определяемый видом входного воздействия, i = 0, 1, 2.

Поскольку в качестве типовых тестовых сигналов применяют ступенчатое (для систем стабилизации), линейное и квадратичное (для программных и следящих СУИМ) входное воздействие, то для оценки установившихся ошибок в системе выделяют 3 типа коэффициентов ошибок:

1) коэффициент ошибки по положению (i = 0)

; (3.14)

2) коэффициент ошибки по скорости (i = 1)

; (3.15)

3) коэффициент ошибки по ускорению (i = 2)

. (3.16)

Как следует из выражений (3.14)…(3.16), установившиеся ошибки могут иметь нулевое, бесконечное или постоянное значение в зависимости от числа интеграторов в передаточной функции W_раз(p) и типа входного сигнала. Установившиеся ошибки для трех типов входных воздействий и трех типов передаточной функции W_раз(p) – с отсутствием интеграторов, с одним и с двумя интеграторами – приведены в табл. 3.1.

Табл. 3.1. Установившиеся ошибки регулирования СУИМ

Число интеграторов	Входной сигнал
	Ступенчатый	Линейный	Квадратичный
0
1
2