5.2 Чистый сдвиг (упругие деформации)

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом. При чистом сдвиге происходит линейное смещение двух параллельных граней элемента относительно друг друга. Величина линейного смещения s (рис. ) называется абсолютным сдвигом

Отношение абсолютного сдвига s к расстоянию ℓ между смещающимися гранями

tgγ

называется относительным сдвигом, или угловой деформацией.

Главные угловые деформации γ₁, γ₂, γ₃ (углы, на которые изменяются прямые углы между плоскостями действия одинаковых по величине, но противоположных по знаку экстремальных касательных напряжений τ₁, τ₂, τ₃.) определяются по закону Гука. Они соответственно равны:

; . где – модуль сдвига или модуль касательной упругости материала

Относительный сдвиг γ₀ происходящий под действием октаэдрического касательного напряжения τ₀ называется октаэдрическим сдвигом,

=

При напряженном состоянии чистого сдвига (рис ) в плоскости под углом в 45⁰ главные напряжения

главные линейные деформации

, ,

главная угловая деформация

Круг напряжений имеет центр в начале координат ( ). Если считать касательные напряжения равномерно распределенными по площади А их действия (рис. ), то касательное усилие

Q = τ·A.

Закон Гука при сдвиге можно записать следующим образом:

s =

Потенциальная энергия упругой деформации при сдвиге определяется формулой

U =

Удельная потенциальная энергия при сдвиге

Пример. Для заданного напряженного состояния (рис ) определить γ_1,2,3 и γ₀, считая Е =2 ·10⁵ Мн/м² и μ = 0,25.

Решение. Главные напряжения в заданном объемном напряженном состоянии равны: σ₁ = 100 Мн/м² , σ₂ = - 20 Мн/м², σ₃ = - 40 Мн/м².

Экстремальные касательные напряжения в соответствии с формулам

Модуль касательной упругости материала по формуле ( )

Из выражений ( ) главные угловые деформации:

Октаэдрический сдвиг по формуле ( ) приобретает значение

= .

5.3 Теория пластичных деформаций

Равновесное состояние при малых деформациях

5.3.1 Пластическое состояние упругих тел. Деформации упругих тел в общем состоит из упругой и остающейся частей. То состояние тела, в котором оно под действием нагрузки и без заметного ослабления связей между частицами претерпевает остаточные деформации и притом значительные, называется пластическим состоянием. Пластическая деформация состоит или в изменении формы отдельных кристаллов, из которых образованы тела (трансляция, двойникование кристаллов, в случае металлов и сплавов) или в перемещении зерен и клубков относительно друг друга (мягкие пластичные массы, полимеры). Оба явления могут происходить одновременно.

Если происходят только малые упругие изменения перед наступлением разрушения или остаточная деформация не очень велика по сравнению с упругой, то такого рода металлы и материалы называются хрупкими.

1.2 Предельные состояния.

а) В теории упругости обыкновенно принимают, что существует ряд определенных предельных состояний, при которых тела в сильной мере и исключительно в виде остаточной деформации свою форму, т.е. при этих условиях они становятся «Пластическими» и начинают течь или при этих состояниях происходит внезапное разрушение. Напряженное состояние определяется в общем тремя главными силами упругости σ₁, σ₂ и σ₃ (растягивающее напряжение – положительное, сжимающее - отрицательное). Согласно предыдущему, принимается, что если три главных напряжения увеличиваются в одном и том же отношении, то в твердом теле при определенном значении σ₁, σ₂ и σ₃ наступает пластическое состояние, или оно разрушается. Переход в пластическое состояние может происходить постепенно во времени, т.е. при возрастающем напряжении оно медленно подготавливается к течению или переход может наступить внезапно при определенном значении напряжения. В последнем случае материал имеет предел текучести.

б) Условие пластичности. Для металлов, которые имеют ясно выраженный предел текучести, пластическое состояние наступает в том случае, если сумма квадратов разностей главных напряжений равна определенному значению, а именно:

Здесь постоянная σ₀ очевидно, обозначает предел текучести для чистого растяжения. Так как если принять σ₂=σ₃= 0, то

2σ12 = 2σ02 и σ1 = σ0 …….

Отсюда правила: 1) Предел текучести для простого растяжения и чистого сжатия равны. 2) В случае чистого сдвига σ₁ = - σ₂ и σ₃ = 0, течение начинается, если

под следует понимать предел текучести для простого растяжения.

1.3 Всестороннее сжатие или растяжение не имеют никакого влияния на наступление пластического состояния.

1.4 Виды пластических деформаций. По величине деформации целесообразно различать:

a) начало текучести, при котором пластические деформации одного порядка по величине с упругими;

b) пластическое состояние, если пластические деформации уже велики по сравнению с упругой частью их, но ещё очень малы по отношению к поперечным размерам тела (удлинения уже достигли значения нескольких процентов);

c) технологические пластические явления, при которых поперечные размеры тела сильно изменяются во время деформации;

d) пластические деформации при температуре, в зависимости от того, при обыкновенной или при повышенной температуре происходит деформация. Для того чтобы при обыкновенной температуре получить сильное изменение формы материала, необходимо считаться с последующим повышением предела текучести.

1.5 Стационарное течение пластической массы. Если пластическая часть удлинений сделалась настолько большой, что по сравнению с нею упругие деформации могут быть оставлены вне внимания, если направления главных напряжений во время деформации не вращаются, то законы медленного течения пластической массы могут быть выражены следующим образом:

1) направления главных удлинений совпадают с направлением главных напряжений;

2) объем материала практически не изменяется

где ε1, ε2 и ε3 –главные удлинения

3) три круга главных удлинений в плоскости диаграммы ϒ=f(ε) (абсцисса – удлинение ε, ордината – половина угла сдвига ϒ/2) образуют группу кругов, подобную фигуре трех кругов главных напряжений Мора. Последний закон можно выразить следующим образом:

в этом уравнении обозначают, σ₁, σ₂ и σ₃ – главные напряжения и ε₁, ε₂ и ε₃ –главные удлинения.

5.3.2 . Состояния равновесия при больших деформациях

Большие (конечные) деформации

При обсуждениях больших деформаций всегда принимается то, что существует начальное состояние, по отношению к которому вычисляется деформация.

Пусть некоторое волокно (стержень) с начальной длиной l₀ растягивается на величину Δl. Тогда, так называемая инженерная мера деформации равна

ε = Δl / l0

Пример. l = 1 и Δl = 0.1 ε = 0.1 или 10%.

Рассуждения становятся более сложными, если Δl сопоставимо с единицей, например Δl = 1. Конечно, и в этом случае нетрудно ввести инженерную меру деформации как характеристику изменения длины образца, так что ε =1 (или 100%).

Однако это определение деформации внутренне противоречиво. Так можно сопоставить две ситуации. В первом случае приращение длины происходит двумя последовательными шагами: вначале длина увеличивается на Δl₁ а затем – на Δl_2.. Тогда деформация, отвечающая первому шагу, равна ε₁-=Δl₁/l₀ , а второму шагу ε₂ = Δl₂/l₁ , поскольку для второго шага начальная длина образца равна l₁ (а не l₀). Общая деформация ε_total равна сумме двух последовательных деформаций, то есть

ε1 total= ε1 + ε2 = Δl1/l0 + Δl2/l1 = l0 [(Δl1+ Δl2) + Δl12] / l0·l1

Во втором случае полное приращение длины, осуществляется за один ход. В этом случае увеличение длины составляет (Δl₁+ Δl₂),

ε2 total = (Δl1 + Δl2.) / l0

Если удлинение мало (Δl₁ << 1 и Δl_2. << 1), то различие между первым значением расчета и вторым значением можно пренебречь. Однако если это не так, то записанные формулы ясно демонстрируют, что относительные деформации не равны между собой, то есть конечный результат растяжения выглядит различным. Конечно, это противоречит физическому смыслу результата эксперимента: в действительности конечный результат одинаков в обоих случаях, хотя вычисления дают разный результат. Это противоречие возникает только в случае больших деформаций. Возникает необходимость ввести такую меру деформации, которая бы не зависела от порядка достижения одного и того же физического результата. Такой мерой служит мера деформации по Генки – ε^Н , определяемая следующим образом:

εН = ln [(l0 + Δl) / l0]

Легко показать, что при использовании этой меры расчет деформации подчиняется принципу аддитивности (закон аддитивного сложения).

εН = ln [l0 +(Δl1 + Δl2.) / l0]

Основные законы

1. Постоянство объема. При исследовании явлений пластической деформации объем (V) тела может быть принят неизменным (первый основной закон). Для параллелепипеда в таком случае, согласно рис.

	Рис.

объем имеет быть:

V = ℓ·b·h= const

Если назвать отношения - степенью вытяжки, β – степенью высадки и – степенью осаживания, а величины

	вытяжка,
	высадка,
	осаживание.

И если изберем для трех последних величин общее обозначение - деформация = ℓn с индексом h для главной оси и n для второстепенной оси, то из уравнения ( ) следует:

λ·β·Y = 1
 = 0
λ + β + Y = 0

Деформация в направлении главной оси , при сопротивлении деформации, равном 1, является одновременно и мерой работы, потребной для деформации на каждую единицу объема, которая характеризуется заштрихованным на рис. ( ) площадью – «вытесненным объемом». Для полной работы деформации вытесненный объем (V_d) определяется:

	Рис.

при неравномерной деформации

при равномерной деформации

.

Протекание деформаций. Деформация происходит всегда таким образом, что после достижения пластического состояния в направлении наибольшего главного напряжения материал вытесняется, благодаря чему соответствующее количество вещества вынуждено оттекать в поперечном направлении (закон постоянства объема). Если в двух главных направлениях действует одинаковое напряжение, то в обоих направлениях происходят и равные деформации. Если величина всех трех главных напряжений различна, то поток материала в направлении среднего главного напряжения очень мал.

Напряженное состояние. Гипотеза наибольших касательных напряжений в качестве условия пластичности является наиболее целесообразной, именно по этой гипотезе пластическая деформация наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает своего предельного значения. Так как между наибольшим касательным напряжением и наибольшим и наименьшим главными напряжениями σ₁ и σ₃ существует соотношение τ_max =1/2∙(σ₁ - σ₃), то возможно напряженное состояние при пластической деформации описать следующим образом: пластическая деформация наступает тогда, когда разность главных напряжений (σ₁ и σ₃) достигает предела сопротивления деформации т.е.

(σ1 - σ3) = kf где kf – предел сопротивления деформации, Па.

Влияние среднего главного напряжения σ₂ и среднего давления

(напряжения) при этом простейшем рассмотрении условия пластичности остается вне внимания. В то время как среднее давление в пластической деформации металлов не играет никакой существенной роли, среднее главное напряжение имеет значение для образования пластической деформации. Большие пластические деформации в трех главных направлениях напряжений ( функционально связаны с соответствующими главными напряжениями, следующими соотношениями:

; ;

где ₀ – податливость, величина, зависящая от материала и состояния деформации.

Сопротивление деформации. Предел k_f сопротивления деформации находится в зависимости от деформации, в то время как влияние скорости деформации d/dt (ln_) относительно незначительно. Зависимость между деформацией и сопротивлением можно установить при помощи кривых текучести. При больших деформациях увеличение сопротивления с ростом деформации (упрочнение) происходит большей частью пропорционально деформации.