5. Напряжение и деформация

5.1 Теория упругих напряжений

Одноосное нормальное напряжение. Под влиянием внешних сил в упругих телах возникают деформации, которые зависят от распределения силы. Физические основания для изучения деформации принимаются из экспериментальных данных опытом на растяжение и сжатие.

Прямой цилиндрический стержень длиною ℓ₀ и диаметром d₀ нагружен на своих конечных плоскостях двумя равными, противоположно направленными, равномерно распределенными по этим плоскостям силами. В поперечных сечениях на площади сечения А растягивающая сила распределяется равномерно; таким образом возникает растягивающее напряжение σ = Р/А в направлении оси стержня. Одновременно начальная длина ℓ₀ возрастает до длины ℓ. Изменение длины цилиндрического стержня будет равно ℓ = ℓ - ℓ₀ (абсолютное удлинение). Его отношение к начальной длине ε = ℓ/ℓ₀ называется относительным удлинением.

На рис ( ) представлена диаграмма удлинений и напряжений для общего случая нагрузки. Растягивающее напряжение σ нанесено как функция удлинений ε. Так как поперечное сечение изменяется, то для определения напряжений принимают начальную площадь А₀; σ = Р/А₀. Линия ОРSBZ есть линия напряжений. Сначала напряжение растет вместе с удлинением. Для многих материалов обе величины пропорциональны до границы пропорциональности Р; тогда ОР линия прямая. На границе удлинений или текучести S напряжение достигает значения σ_S; здесь начинается течение – удлинение без повышения напряжения (условного).

Напряжение при этом падает несколько от (верхняя граница течения) до (нижняя граница течения). По окончании течения напряжение поднимается дальше и достигает у точки В₁ наивысшего значения σ_В – временного сопротивления (прочность при растяжении). Поперечное сечение стержня значительно уменьшается здесь (образование шейки); при дальнейшем растяжении испытывают удлинение только части стержня вблизи шейки. Напряжения, отнесенные к основному сечению, падают – и у точки Z стержень разрушается.

Если удлиненный на определенную величину стержень разгружается, то деформация исчезает не полностью. Именно удлинение распадается на исчезающую упругую часть ℓ₁ и остающееся удлинение ℓ₂. При малых нагрузках остающееся удлинение очень незначительно по сравнению с упругим. Напряжение σ_ℓ, до которого остающееся удлинение незначительно, называется пределом упругости.

По постановлению Международного конгресса по испытанию материалов в 1906 г. предел пропорциональности есть напряжение, при котором остающаяся деформация достигает значения 1:100%.

Упругость и эластичность. При научных исследованиях нередко бывает, что обнаруживается сходство между далекими друг от друга явлениями. Сначала оно непонятно и потому кажется случайным. Затем выясняется, что в основе сходства явлений лежит некий фундаментальный принцип или закон природы.

Когда растягивается резиновая лента или слабая металлическая пружина, ощущения отклика на внешнее воздействие очень похожи.

Упругость большинства твердых (кристаллических) тел, в том числе и металлов, имеет совершенно иной характер, чем у полимеров. Растягивающее усилие увеличивает в них средние межатомные расстояния. При снятии нагрузки силы притяжения возвращают атомы в исходное состояние (положение). По закону Гука, закон пропорционального удлинения тела Δl под действием приложенного усилия σ и обратно пропорциональна его модулем упругости E, имеет соотношения:

Где – первоначальная длина тела;

σ = f/A – усилие на единицу поверхности сечения (напряжение);

E - модуль упругости первого рода.

Силы взаимодействия между атомами очень велики. Поэтому модули упругой деформации имеют огромную величину. Например, для стали Е = 20 000 кг/мм², для стекла Е = 5000 кг/мм², для мягких металлов (олово, свинец Е = 2000…3000 кг/мм2. Это означает, что даже для небольшой деформации к наиболее мягким металлам нужно приложить усилие σ = 200…300 Н/мм2. Для обратимой деформации, после которой материал еще восстанавливает первоначальную форму, значения удлинения и вовсе малы – несколько десятых или даже сотых долей процента.

Как не похожи на это свойства резины. Модуль упругости резины Е = 1 Н/мм², а обратимые деформации 500% и более. Подобные свойства и у других полимеров в высокоэластическом состоянии. Многие полимеры (пластики, органические стекла) при нормальных условиях среды пластичны, но стеклоподобны – они не способны к большим обратимым деформациям. При повышении температуры полимерные пластики переходят в высокоэластическое состояние, становятся каучукоподобными.

Но различие в упругости между металлами и полимерами при изменении температуры идет еще дальше. Модули упругости металлов и вообще кристаллических тел уменьшаются с ростом температуры. Нагревание облегчает их деформацию. На этом свойстве основана горячая обработка металлов: кузнец разогревает заготовку в печи до красна.

А вот модуль упругости полимеров, наоборот, возрастает с ростом температуры. Полимер при нагревании становится менее податливым. Такое странное свойство из всех твердых тел присуще только полимерам.

Например. К толстой полоске растянутой резины прикрепить динамометр, нагревать окружающую среду (электроплиткой). Показания динамометра начнут увеличиваться – напряжение возросло.

Аналогия поведения упругости – твердый полимер и газ.

Проявление упругости газа можно наблюдать при его нагревании. Возьмем грамм-молекулу идеального газа. Уравнение его состояния PV=RT утверждает, что если температура не меняется, произведение давления газа на его объем также постоянно. Проведем мысленно несложный опыт, предложенный В.Э Эскиным [ ]. Пусть газ в вертикальном цилиндре (высота Н. площадь сечения s), закрытом легким поршнем (рис. ). Кладем на поршень груз F, после чего он опустится на отрезок ΔН, слегка сжав газ до давления (Р + F/s). Считая, что температура газа не изменилась, можно написать уравнение состояния газа:

или

Отношение F/s есть сжимающее усилие (напряжение - σ) в сечении деформируемого тела – газа, а т.к. ΔН Н – изменение высоты объема, то отношение слева напоминает отношение . Сравнив уравнение состояния газа с законом Гука, видим, что при сжатии газа роль модуля упругости играет давление газа Р.

Это примечательно в двух отношениях. Во-первых, Р = 1 ат = 0,01 кг/мм², значит модуль сжатия газа близок к модулю упругости резины ( 0,1 кг/мм²). Во-вторых. Давление газа (при постоянном объеме) пропорционально температуре. А это означает, что модуль упругости газа так же, как и резины, растет с ростом температуры. Чем выше температура. Тем больше средняя скорость молекул, а значит, их импульс при ударе о поршень. Аналогичная ситуация при растягивании резины. Растягивая макромолекулы, нужно преодолевать тепловое движение звеньев, которое свертывает цепи в клубки. Чем выше температура, тем интенсивнее движутся части молекулы (звенья, сегменты), тем большая требуется сила, чтобы преодолевать противодействие растяжению. Сходство упругих свойств полимеров и газов основано на общности природы их упругости.

Растяжение цепных молекул переводит их в менее вероятную конфигурацию. Сжатому газу также отвечает менее вероятное состояние. Увеличение объема газа всегда связано с возрастанием беспорядка, с большими возможностями размещения молекул. В увеличенном объеме то же самое число молекул можно расположить возросшим числом способов, а это и значит, что вероятность состояния возросла.

Вероятность состояния измеряют в физике особой величиной, называемой энтропией (S). Формула для вычисления энтропии системы (тела) в некотором состоянии

где С – число способов, которыми данное состояние осуществляется;

k – постоянная Больцмана.

Согласно формуле энтропия растет вместе с С, значит, когда система переходит в состояние с большей вероятностью – это сопровождается возрастанием энтропии

,

где V₁ и V₂ - объем газа до и после расширения.

Так как - энтропия газа при расширении увеличивается.

Упругость тел, связанную с вероятностью состояния, принято называть энтропийной упругостью.

Материал тем эластичнее, чем больше упругое удлинение ℓ₁ по сравнению с общим удлинением ℓ. Отношение ℓ₁:ℓ служит мерой упругого совершенства (при определенной нагрузке). Для вполне упругого тела

ℓ1 : ℓ = 1

После перехода предела упругости пластическая часть деформации возрастает все более. После границы текучести деформация становится пластической (пластическая область). У многих материалов отсутствует граница текучести и чистая упругая область постепенно переходит в чисто пластическую. Вязкие материалы – это материалы с пластической областью. Хрупкие материалы или совсем не имеют (вязкости) пластической деформации, или последняя очень мала.

Деформация, в зависимости от материала, требует большего или меньшего времени для своего развития: это – явление так называемого упругого последействия. Деформация и также прочность зависят от времени, в течение которого нагрузка возрастает от нуля до наибольшего значения и зависит от продолжительности действия каждой нагрузки. Особенно сильное упругое последействие обнаруживают железо и цинк.

Деформация и различные пределы (пропорциональности, упругости, временного сопротивления и т.п.) зависят от температуры.

Соответственное явление происходит при сжатии: вместо предела текучести имеется предел расплющивания (предел текучести при сжатии) с направлением , при котором материал без повышения напряжения течет в различные стороны. Разрушение происходит при сопротивлении раздроблению (прочность на сжатие, временное сопротивление на сжатие) .

При повторно переменной нагрузке разрушение наступает при значительно меньшем напряжении: прочность при колебательной нагрузке или предел выносливости есть то наибольшее напряжение, которое выдерживает материал при колебательной нагрузке (знакопеременное сжатие и растяжение – напряжение с переходом через нуль). Произвольно большое число раз. Практический предел выносливости для известного числа циклов изменения нагрузки (10∙10⁶, 20∙10⁶ и т.д.) называется пределом усталости. Предел прочности при переменной нагрузке есть то наибольшее напряжение, которое материал выдерживает произвольное число раз при изменении его значений от нуля в одну сторону.

Прочность при колебательной нагрузке значительно меньше, чем прочность при переменной нагрузке. У вязких металлов предел выносливости и предел прочности при переменной нагрузке лежат ниже предела текучести.

В теории упругих деформациях рассматриваются только те явления, в которых граница текучести не достигнута (рис ) участок кривой от точки О до точки .

Рис Диаграмма напряженного состояния в координатах напряжения от деформации

Кроме того, при расчетах принимается, что материал изотропен, т.е. что состояние (упругое и пластическое) по всем направлениям одинаково. Если призматическое тело нагружается в одном направлении центральной силой, которая распределяется равномерно по сечению, то имеем случай одноосного нормального напряжения.

Пусть осевая сила равна Р, положительная – растягивающая сила, отрицательная – сжимающая сила. Нормальное напряжение в осевом направлении определится σ = Р/А, где А – площадь поперечного сечения (плоскость сечения перпендикулярна действию силы), положительный знак относится к напряжению растяжения, отрицательный к напряжению сжатия. Длина ℓ₀ изменяется при этом до ℓ. Абсолютное удлинение ℓ = ℓ - ℓ₀ положительное при растяжении, отрицательное при сжатии. Относительное удлинение равно . При сжатии относительное удлинение отрицательно; абсолютное изменение будет укорочение. Также меняются размеры поперечного сечения: при удлинении, происходит уменьшение их, при сжатии увеличение. Сторона сечения переходит в . Абсолютное поперечное сжатие – удлинение

= - ;

относительное поперечное сжатие равно

При удлинении относительное поперечное сжатие отрицательно, абсолютное сжатие есть уменьшение поперечного размера. Относительное поперечное сжатие (расширение в случае сжатия) есть некоторая дробь осевого удлинения (при сжатии – укорочения):

- коэффициент поперечного сжатия (коэффициент Пуассона).

При отсутствии поперечного сжатия = 0; для материалов, у которых объем при сжатии и растяжении не изменяется, . Действительные значения коэффициентов поперечного сжатия лежат между этими пределами: для металлов принимается

Данные опыта. Для железа значение 1/μ лежит между 3,3 и 3,5. По Планку 1/μ убывает с температурой (для железа очень медленно) и приближается при температуре плавления к нижнему пределу, равному 2,0, который относится к жидкости σ_max = 63 Мпа.

Для того чтобы притти к простым решениям, в сопротивлении материалов обыкновенно принимают, что напряжение пропорционально удлинению. Этот закон пропорциональности (закон Гука) имеет значение в определенных границах для всех важнейших материалов:

σ = или ɑ·σ = (закон Гука) где Е – модуль упругости, постоянная характеристика металла МПа.; = – относительная деформация (безразмерная величина); ɑ = 1/Е – податливость (коэффициент удлинения) м2/Н.

Найденные на основании этого допущения формулы относятся также к тем материалам, для которых закон пропорциональности не исполняется строго.

Если между напряжением и деформацией нет никакой пропорциональности, то Е_σ = , т.е. Е_σ есть производная функция удлинений и напряжений.

Работа деформации для определенного удлинения равна

.

внутри границ пропорциональности

.

Работоспособность материалов до разрыва (в единице объема) может быть выражена по площади под кривой на диаграмме деформация - напряжение. Необходимо точное определение масштабных коэффициентов осей диаграммы.

В состоянии растяжения материалов со специфическими свойствами упругости (сталь – это упругий поликристаллический материал) и высокоэластичности (резина – это эластичный полимерный материал) наблюдается большое различие. На рис. ( ) представлены характерные поведения свойств упругости и высокоэластичности в координатах напряжения от деформации.

Рис. Диаграмма растяжения в координатах напряжения от деформации для стали (левая – упругий материал) и для резины (правая – высокоэластичный материал). Точка А – верхний предел линейного участка зависимости напряжения от деформации; точка В – верхний предел обратимых деформаций; точка С – точка разрыва.

Сравнивая обе кривые по свойствам можно иметь представления о свойствах:

1. Величины упругой относительной деформации ( ) для резины намного выше, чем для стали (для резины , для стали 0,01).

2. Напряжения σ для стали существенно больше, чем для резины ( для стали и для каучука).

3. Характерная величина - модуль Юнга (это линия, определяющая начальный наклон кривой зависимости напряжения от деформации), Па, что гораздо больше для стали, чем для каучука (резины).

4. Для стали, линейность и обратимость теряются почти одновременно, а для резины существует очень широкая область нелинейных обратимых деформаций.

5. Для стали существует широкая область пластических деформаций (между точками В и С) , которая практически отсутствует для резины.