2.12.2. Функції загальних витрат, повного доходу та прибутку

Загальні витрати на вироблену продукцію виражаються лінійною функцією від кількості цієї продукції Q і складаються з фіксованих витрат F та змінних витрат V. У фіксовані витрати входять рента, податок, відсоток оплати і т.д., а у змінні витрати – заробітна плата, сировина і т.п.

Таким чином, загальні витрати можна записати у вигляді формули

, (1)

де ТС (Total Cost) –загальна ціна, F (Fixed cost) – фіксована ціна, V (Variable cost) – змінна ціна, Q (Quantity) – кількість.

Загальні витрати ще називають собівартістю продукції.

Повний дохід у випадку лінійної залежності від кількості виробленої продукції Q задається формулою

, (2)

де (Total Revenue) – загальний дохід, Р (Price) – ціна.

Потрібно зауважити, що у формулі (2) ціна сама є функцією від кількості продукції Q. Конкретний вигляд цієї залежності задається кривою попиту. Справді, ціна визначається не тим, скільки хоче отримати виробник, а тим, скільки готовий заплатити споживач.

Прибуток є одним із найбільш важливих понять в економіці і бізнесі, яке дає можливість оцінити ефективність діяльності будь-якого підприємства або фірми. У найбільш загальному вигляді прибуток можна визначити як різницю між повним доходом підприємства (фірми) від реалізації продукції або послуг і повними витратами. Якщо позначити прибуток через , то функцію, для обчислення прибутку, можна записати у вигляді

. (3)

Остання формула дає можливість визначити при яких значеннях Q виробництво буде збитковим або прибутковим, давати максимальний збиток або максимальний прибуток.

Приклад 1. Для функції загальних витрат , де F= 8000 грн. і V=1,25 грн. за одиницю продукції, знайти:

а) загальні витрати при випуску 2000 од. продукції;

б) ефект збільшення загальних витрат випуску 5000 од. продукції при збільшенні змінних витрат із 1,25 грн. до 1,50 грн. за од. продукції;

в) випуск, який відповідає загальним витратам 20000 грн.;

г) ефект збільшення загальних витрат випуску 1600 од. продукції при збільшенні фіксованих витрат з 8000 грн. до 10000 грн. і зменшенні змінних витрат з 1,25 грн. до 1 грн. за од. продукції.

Розв’язання. а) загальні витрати обчислюються за формулою (1): ;

б) ефект збільшення загальних витрат при Q=5000, V=1,5: ;

в) випуск, який відповідає загальним витратам 20000 грн можна обчислити, скориставшись формулою (1):

;

г) загальні витрати при Q=1600, F=10000 і V=1:

.

Приклад 2. На ринку ціна пральної машини подається у вигляді лінійної функції попиту

,

де Р – ціна в грн., Q – величина попиту (кількість пральної машини). Знайти функцію загального доходу.

Розв’язання. Загальний дохід від продажу пральних машин виражається через ціну наступним чином:

.

Функція – квадратична функція, графіком якої є парабола, направлена вітками вниз. Перетворивши дану функцію шляхом виділення повного квадрата, одержимо

.

З одержаної формули випливає, що TR₀=480 000 – максимальний дохід, одержується при Q₀ =4000, при цьому ціна однієї пральної машини буде

грн.

Приклад 3 ( Управління транспортом ).

За допомогою статистичних спостережень було встановлено залежність кількості громадян, які будуть користуватись громадським транспортом, від різних розмірів оплати за проїзд. За результатами цих спостережень було визначено функцію попиту у вигляді:

,

де – кількість пасажирів за день, – плата за проїзд (у коп.).

а) Визначити ціну проїзду, яку потрібно встановити для максимального щоденного доходу громадського транспорту.

б) Який максимальний дохід і скільки пасажирів за день очікується при такій оплаті?

Розв’язання. Визначимо функцію доходу в залежності від плати . Загальний дохід задається функцією

.

Враховуючи вираз для , одержимо

,

(коп.) (грн.),

(чол.).

Приклад 4. Економічним підрозділом підприємства встановлено, що при виробництві Q одиниць продукції загальні витрати і ціна виражаються формулами:

(грн.), (грн.).

Знайти значення Q, при якому виробництво буде приносити максимальний прибуток.

Рис. 37

Розв’язання. Використавши формулу для прибутку та виділивши повний квадрат в одержаній квадратичній функції, дістанемо

.

З одержаних результатів можна зробити висновок, що максимальний прибуток 88000 грн. буде досягнуто при

од. продукції.

2.12.3. Аналіз прибутковості-збитковості

Розглянемо функцію загальних витрат у вигляді:

,

а функцію загального доходу у вигляді формули

TR = PQ,

де TR – загальний прибуток від продажу продукції (Total Revenue).

Наведені залежності дають можливість знайти точку переходу прибутковості-збитковості з умови TC = TR:

VQ + F = PQ, .

Приклад 3. Фірма планує організувати виїзний концерт у декілька міст, причому продавати квитки планується в середньому 2 грн. за квиток. Підготовка і проведення концерту оцінюється 1,6 грн. за місце. Фіксовані витрати складають 2000 грн. Знайти точку “прибутковості-збитковості” обсягу відвідування концерту відвідувачами.

Розв’язання. Маємо TR = 2Q, TC = 2000 + 1,6 Q.

З умови TC = TR одержуємо

Таким чином, прибуток буде одержаний при реалізації більше, ніж 5000 квитків.