- •Розділ 2. Функції
- •2.2. Способи задання функції
- •2.3. Область визначення та множина значень функції, заданої
- •2.4. Деякі властивості функцій
- •2.5. Асимптоти
- •2.7. Параметрично задані функції
- •2.8. Обернені функції
- •2.9. Складна функція
- •2.10. Класифікація функцій. Елементарні функції
- •2.10.1. Основні елементарні функції
- •2.11. Побудова графіків складних функцій методом перетворення
- •2.12. Функціональні моделі в економіці
- •2.12.1. Попит і пропозиції. Рівновага попиту і пропозицій
- •2.12.2. Функції загальних витрат, повного доходу та прибутку
- •2.12.4. Залежність величини попиту від доходу. Функції Торнквіста
- •2.12.5. Функція корисності, крива байдужості і лінія бюджетного
- •Запитання і завдання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
2.11. Побудова графіків складних функцій методом перетворення
графіків базових функцій
Для проведення дослідження функцій і побудови їх графіків у більшості випадків користуються похідною. Разом із тим актуальним залишається метод, який базується на перетворенні графіка підходящої елементарної функції до його збігання з графіком заданої функції. Цим методом особливо зручно користуватись, якщо задана функція може бути виражена через одну з елементарних функцій у вигляді . Тоді графік заданої функції буде комбінацією паралельних переміщень (горизонтальних і вертикальних), а також стиснень-розтягів (горизонтальних і вертикальних) графіка відповідної елементарної функції.
Нехай задано графік функції . Тоді мають місце наступні перетворення.
Горизонтальне переміщення . Графік функції одержується з графіка функції шляхом паралельного перенесення (при вліво,
п
Рис. 24
Рис.
23
3. Стиснення-розтяг по осі ординат . У даному випадку графік функції ( ) одержується з графіка функції шляхом розтягу (при ) або стиснення (при ) останнього в разів вздовж осі абсцис (рис. 25).
Рис. 25
Рис. 26
4. Стиснення-розтяг по осі абсцис . У даному випадку графік функції ( ) одержується з графіка функції шляхом стиснення (при ) або розтягу (при ) останнього в або, відповідно, в разів уздовж осі абсцис (рис. 26).
5. Дзеркальне відображення. У випадку, якщо , то кожному значенню незалежної змінної буде відповідати протилежне за знаком значення ординати . Таким чином, графік нової функції буде дзеркальним відображенням функції відносно осі абсцис (рис. 27).
У випадку, якщо , то кожному значенню залежної змінної у буде відповідати протилежне за знаком значення абсциси . Таким чином, графік нової функції буде дзеркальним відображенням функції відносно осі ординат (рис. 28).
Рис. 27
Рис. 28
6. Взяття модуля. Нехай потрібно побудувати графік функції . Якщо , то , а отже, частину графіка, яка знаходиться у верхній напівплощині, потрібно залишити без зміни. Якщо , то , а це означає, що частину графіка, яка знаходиться у нижній напівплощині, потрібно дзеркально відобразити у верхню напівплощину симетрично відносно осі абсцис (рис. 29 ).
Н
Рис. 30
Рис. 29