2.10. Класифікація функцій. Елементарні функції

2.10.1. Основні елементарні функції

До основних елементарних функцій відносяться:

1. Степенева функція , де – дійсне число;

2. Показникова функція , де ;

3. Логарифмічна функція , де ;

4. Тригонометричні функції: ;

5. Обернені тригонометричні функції: ;

1.Степенева функція . Розглянемо окремі випадки степеневої функції:

а) Функція , де n – натуральне число. Область визначення функції , а область значень . Функція парна. Спадна для і зростаюча для . . Графіки функцій при n=2 і n=4, наведено на рис.4.

Функція , де n – натуральне число. Область визначення функції , а область значень . Функція непарна. Зростаюча для . Графіки функцій при n=1 і n=3, наведено на рис. 5.

Рис. 4

Рис. 5

б) Функція , де n – натуральне число. Область визначення функції , а область значень . Функція непарна. Спадна для .

Функція , де n – натуральне число. Область визначення функції , а область значень . Функція парна. Зростаюча для і спадна для . Графіки функцій при n=-1 і n=-2, наведено на рис.6,7.

Рис. 6

Рис. 7

в) Функція , де – натуральне число. Область визначення функції , а область значень . Функція зростаюча. Графік функції наведено на рис. 8.

Функція , де – натуральне число. Область визначення функції , а область значень . Функція зростаюча. Графік функції наведено на рис. 9.

Рис. 8

Рис. 9

2

Рис. 11

Рис. 10

. Показникова функція . Область визначення функції уся множина дійсних чисел , а область значень . Якщо , то функція спадна, а якщо – функція зростаюча. Графіки окремих функцій наведено на рис. 10,11.

Показникова функція має широке застосування в економіці, зокрема, в математиці фінансів у формулі складних відсотків

,

де Р – початковий внесок, i – відсоткова ставка, n – кількість періодів (незалежна змінна), – значення внеску після n періодів нарахування (залежна змінна).

3. Логарифмічна функція . Область визначення функції , а область значень . Якщо , то функція спадна, а якщо – функція зростаюча. Графіки окремих функцій наведено на рис.12,13.

Рис. 13

Рис. 12

4. Тригонометричні функції , , , .

а) Функції та визначені на та мають область значень , періодичні з періодом . Функція непарна, її графік

Рис. 14

Рис. 15

(рис.14) симетричний відносно початку координат. Функція – парна, її графік (рис.15) симетричний відносно осі ординат.

б) Функція визначена на всій дійсній осі, крім , монотонно зростаюча в кожному інтервалі області визначення.

Функція визначена на всій дійсній осі, крім , монотонно спадна в кожному інтервалі області визначення.

Функції та непарні, симетричні відносно початку координат, періодичні з періодом , область значень , їх графіки наведено відповідно на рис.16,17.

Рис. 16

Рис. 17

5. Обернені тригонометричні функції: .

Функція . Оберненою тригонометричною функцією називають дугу (кут) у, із відрізка , синус якої дорівнює х. Іншими словами, рівності і еквівалентні. Аналогічно визначаються інші обернені тригонометричні функції.

Функція визначена на та має область значень . Монотонно зростаюча в області визначення, непарна. Графік функції наведено на рис. 18.

Ф

Рис. 18

Рис. 19

ункція визначена на і має область значень . Монотонно спадна в області визначення. Для функції має міс­це рівність . Графік функції наведено на рис. 19.

Функція визначена на та має область значень . Монотонно зростаюча в області визначення, непарна. Графік функції наведено на рис. 20.

Функція визначена на та має область значень . Функція монотонно спадна в області визначення. Для функції має місце рівність . Графік функції наведено на рис. 21.

Рис. 20

Рис. 21

2.10.2. Елементарні функції

Функції, утворені з основних елементарних функцій та чисел із використанням арифметичних дій та операції взяття функції від функції (утворення складних функцій), називаються елементарними.

Найбільш типовими елементарними функціями, які мають застосування в економіці є цілі раціональні функції, дробово-раціональні функції та ірраціональні функції.

1. Цілі раціональні функції або поліноми (многочлени). У загальному вигляді поліноми записуються так:

,

де y і x – відповідно залежна і незалежна змінні; – дійсні числа. При цьому . Число n у цьому випадку показує степінь поліноміальної функції.

Якщо n=1, тоді маємо або – лінійну функцію.

Якщо n=2, тоді маємо або – квадратичну функцію.

Якщо n=3, тоді маємо або – кубічну функцію.

При n>1 поліном є нелінійною функцією. Із нелінійних функцій найбільш широке використання в економічних розрахунках має квадратична функція .

Скориставшись методом виділення повного квадрату, квадратичну функцію можна подати у вигляді

.

З останньої рівності випливає, що графіком квадратичної функції є парабола, вершина якої знаходиться в точці , де

,

вітки якої направлені вверх при і – вниз при .

2. Дробово-раціональні функції. Дробово-раціональними функціями називаються функції, які можна подати у вигляді відношення двох поліномів:

,

де P_m(x) і Q_n(x) деякі поліноміальні функції. Областю визначення поліноміальної функції є множина усіх дійсних чисел, крім тих точок, у яких знаменник перетворюється в нуль, тобто, крім тих значень змінної х, які є дійсними коренями рівняння Q_n(x)=0.

Приклади дробово-раціональних функцій: .

Г

Рис. 22

рафік дробово-раціональної функції має вертикальні асимптоти х=а, в кожній точці х=а, яка є дійсним коренем рівняння Q_n(x)=0.

Наприклад, функція має верти­кальну асимптоту . Графік цієї функції подано на рис. 22. Крім вертикальних асимптот дробово-раціо­нальна функція може мати одну горизонтальну асимптоту y=b або нахилену асимптоту y=ax+b, які характеризуються поведінкою функції на нескінченності.

Прикладом дробово-раціональної функції може бути математична модель вартості очистки від забруднення цементом. Якщо p відсоток очистки, , то вартість очистки атмосфери від забруднення цементом складає величину

.

Ця раціональна функція має вертикальну асимптоту і горизонтальну асимптоту .

3. Ірраціональні функції. Функції, в яких, крім вище вказаних дій, використовується операція добування кореня, називаються ірраціональними. При цьому для кореня парного степеня враховується тільки його арифметичне значення.

Наприклад, функції , – ірраціональні.