Розділ 2. Функції

Поняття функції. Способи задання функції. Області визначення та множина значень функції. Деякі властивості функцій: монотонність, обмеженість, парність-непарність і періодичність. Явно і неявно задані функції. Параметрично задані функції. Обернені функції. Асимптоти. Складна функція. Основні елементарні функції. Елементарні функції. Побудова графіків складних функцій методом перетворення графіків базових функцій. Функціональні моделі в економіці.

2.1. Змінні і постійні величини. Поняття функції

У різних областях знань при вивченні тих чи інших явищ ми зустрічаємося як із величинами, які не змінюють свого числового значення (кількість місяців у році), так і з величинами, які можуть приймати те чи інше числове значення (ціна товару, обсяг закупок, попит на певний товар тощо).

Означення 1. Величина, числове значення якої при розглядуваних умовах не змінюється, називається постійною.

Означення 2. Величина, числове значення якої при розглядуваних умовах може змінюватись, називається змінною.

Множина всіх значень змінної х утворює деяку числову множину значень змінної Х.

Означення 3. Якщо кожному елементу х з множини Х (хХ) ставиться у відповідність певний елемент y з множини Y (yY), то говорять, що на множині Х задано функцію .

Множина Х називається областю визначення (або існування) функції, а множина Y – областю значень функції.

При цьому х називається незалежною змінною (або аргументом), y – залежною змінною, а буква f означає закон відповідності (замість букви f можуть бути використані інші літери: F, u, v, Ф, ).

Означення 4. Функція називається однозначною, якщо кожному значенню х відповідає одне значення y. Функцію y називають багатозначною, якщо кожному значенню х відповідає декілька значень y.

Наприклад, функція у=х² є однозначною, а функція є багатозначною (двозначною).

2.2. Способи задання функції

Існує декілька способів задання функції: аналітичний, табличний, графічний та мовний. У математиці найбільш часто використовуються перші три способи, тому розглянемо їх детальніше.

1. Аналітичний спосіб – якщо функція задана формулою у вигляді однієї або декількох рівностей, що зв’язують незалежну та залежну змінні.

Наприклад, .

Якщо рівняння, що зв’язує аргумент х із функцією у не розв’язано відносно у, а задано у вигляді F(x,y)=0 (випадок а), то кажуть, що функцію у задано неявно.

2) Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції , наприклад:

x	0	0.5	1	1.5	2
y	1	1.75	2	2.5	3.5

3) Графічний спосіб полягає в зображені функціональної залежності за допомогою лінії, яку називають графіком функції.

4) Словесний спосіб ­– якщо функція описується правилом її складання, наприклад, функція Діріхле: f(x) = 1, якщо х – раціональне; f(x) = 0, якщо х – ірраціональне.