54

Лекции

«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ

ЗАДАЧАХ»

(Часть I: Решение СЛАУ)

Новочеркасск 2012

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ 3

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 4

1.1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ 5

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 5

1.1.1. Классификация методов 5

1.1.2. Обусловленность системы уравнений 6

1.1.3. Собственные значения и собственные векторы матриц 6

1.1.4. Векторные нормы 7

1.1.5. Методы решения некорректных задач 8

1.1.6. Точные методы расчёта СЛАУ 10

1.1.6.1. Классический метод Гаусса 11

1.1.6.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента 16

1.1.6.3. Гауссово исключение и LU-разложение 19

1.1.6.4. Матрично-векторные формы - разложения 21

1.1.6.5. Алгоритм Донгарры-Айзенштата. 22

1.1.6.6. Метод вращения 23

1.1.6.7. Схема Жордана 25

1.1.6.8. факторизация 27

1.1.6.9. Метод квадратных корней (Холесского) 28

1.1.6.10. Итерационное уточнение 32

1.1.6.11. Особенности решения СЛАУ для ленточных симметричных и 33

несимметричных матриц 33

1.1.7. Итерационные методы СЛАУ 47

1.1.7.1. Решение СЛАУ методом простых итераций 47

1.1.7.2. Решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя 49

1.1.7.3. Метод релаксации 51

ЛИТЕРАТУРА 54

1. Численные методы в электротехнических задачах

Решение задач можно условно разделить на этапы:

- формулирование задачи; - математическая постановка; - физический и математический анализ; - численный анализ;

- разработка вычислительного алгоритма.

Формулирование задачи – определение цели, которой необходимо достичь, с учетом четкого изложения условий задачи, необходимых исходных данных и границ изменения параметров.

Математическая постановка задачи заключается в математическом описании сформулированной задачи с помощью математических выражений, т.е. в составлении математической модели задачи.

Физический и математический анализ заключаются в анализе существования и единственности решения, определении математических методов, которые можно использовать для решения сформулированной задачи.

Численный анализ включает выбор наиболее приемлемого метода решения задачи, разработку его во всех деталях и запись в виде алгоритма.

Метод решения – это точное описание, по которому каждому набору исходных данных из области допустимых значений можно сопоставить решение.

Алгоритм – точное предписание последовательности операций, которую надо провести над исходными данными и промежуточными результатами вычислений, чтобы получить искомый результат.

При разработке алгоритма вычислений необходим учет ограничений, налагаемых вычислительными средствами (быстродействие, объем памяти, точность представления чисел и т.п.).

Эффективность математических методов и реализующих их алгоритмов оценивается на основе:

• количества действий, которые надо выполнить для получения решения;

• количества различных данных, которые необходимо сохранять на отдельных этапах вычислительного процесса.

Решение любой задачи связано с возникновением трех основных погрешностей:

1. Неустранимой погрешности, полученной из-за допущений, принятых при упрощенном описании явлений и объектов.

2. Погрешности метода, возникающей, если он не допускает точного аналитического решения и использует приближенные методы решения.

3. Вычислительной погрешности, обусловленной необходимостью округления чисел при выполнении арифметических операций.

Существенное значение при решении практических задач имеют погрешности измерений.