- •1. Вектордың анықтамасы. Тең векторлардың анықтамасы.
- •2. Векторларды қосу амалының анықтамасы. Векторларды қосу амалының қасиеттерін дәлелдеу.
- •3. Векторды санға көбейту амалының анықтамасы. Векторды санға көбейту амалының қасиеттерін дәлелдеу.
- •4. Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің анықтамасы. Коллениар және компланар векторлардың сызықтық тәуелділігін көрсету.
- •5. Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттерін дәлелдеу.
- •6. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері.
- •11.Кеңістіктегі акж
- •12. Кеңістіктегі акж (декарттық тікбұрышты координаттар жүйесі )(рис. 4.4) (Афиндик)
- •19.Векторлардың аралас көбейтіндісінің анықтамасы және геометриялық мағынасы.
- •20. Векторлардың аралас көбейтіндісінің қасиеттері мен есептеу формулалары:
- •21. Жазықтықтағы түзудің параметрлік,канондық,екі нүкте арқылы өтетін түзудің, кесінділермен берілген түзудің теңдеулерін қорытып шығару
- •28.Жазықтықтың параметрлік және үш нүкте арқылы өтетін теңдеуін қорытып шығару.
- •29.Жазықтықтың жалпы теңдеуін қорытып шығару.
- •30. Екі жазықтықтың өзара орналасуы туралы теореманы дәлелдеу.
- •34. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
- •35. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы.
- •36. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.
- •37. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың арасындағы бұрыштың синусын есептеу формуласын қорытып шығару.
- •38. Кеңістікте нүктеден түзуге дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
- •46, Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде бір базистен екінші базиске көшу формулаларын қорытып шығару.
- •47,Эллипс (канондық теңдеуін қорыту, фокалдық радиустарды есептеу, эксцентриситет, параметрлік теңдеу).
- •47,Эллипс
- •48,Гипербола
- •46,Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде бір базистен екінші базиске көшу формулаларын қорытып шығару.
- •1 Сурет 1
- •1 Сурет 2
- •52. Екінші ретті сызықтардың типтерге бөлініуі
- •53. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуінің инварианттары туралы теорема.
- •Екінші ретті сызықтардың центрі туралы теоремаларды дәлелдеу. Центрі бар және центрі жоқ қисықтар.
- •2. Гиперболалық параболоидтың канондық теңдеуі. Гиперболалық параболоидтың қималары.
- •64. Целиндтлік бет және оның қималары
- •65. Эллипстік параболоидтың канондық теңдеуін қорытып шығару. Эллипстік параболоидтың қималары.
- •67. Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушалары.
- •68. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуі. Екінші ретті беттердің типтерге бөлінуі.
- •69. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуін 17 канондық теңдеуге келтіру.
- •70. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуінің инварианттары
34. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
Q
Z
π
У
О
Х
π: Ах+Ву+Сz+D=0; (.)Q(x1;у1;z1); (.) (x0;y0;z0); Q π; =d((.)Q,π);
= =(x1;y1;z1); = =(x0;y0;z0); ⊥π; ( )=| |*| |*cos( )=
=d*(±1)=±d; ( )=( - , )=| - , |=( , )-( , )=( , )-p=
=x1cosα+y1cosβ+z1cosµ-p; d=|x1cosα+y1cosβ+z1cosµ-p|; d= ;
35. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы.
: = = ; : = = ; (.) ( )€ ; (.) ( )€ ;
=( ); =( ); ∩ €π ↔ және және компланар ↔ ( )=0 ↔ = 0; түзулері бір түзудің бойында жатпай айқасады сонда және тек сонда ғана, егер ▲≠0;
түзулері бір жазықтықта жататын жағдайларды қарастырайық:
// ↔ коллениар ( коллениар емес )↔ координаттары пропорционал. Ал координаттары координаттарына пропорционал емес.
// ↔ коллениар емес ↔ , веторларының координаттары пропорционал емес.
және түзулері беттеседі ↔ коллениар , коллениар . , веторларының координаттары пропорционал, координаттары координаттарына пропорционал.
36. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.
Р: = = ; =(l,m,n) – бағыттаушы вектор; (.) ( ; ; ) P;
π: Ax+By+Cz+D=0; 1) P түзуі π жазықтығымен беттеседі ↔ (.) єπ, //π ↔
π
A +B +C +D=0, Al+Bm+Cn=0;
π
2) P∩π=Ø(бос жиын); (.) єπ, //π ← A +B +C +D≠0, Al+Bm+Cn=0;
π
3) P∩π = жалғыз нүктеде ↔ // π ↔ Al+Bm+Cn≠0;
37. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың арасындағы бұрыштың синусын есептеу формуласын қорытып шығару.
ТКЖ ( L= m =( n a=(L,m,n) – бағыттаушы вектор (.)М0 € p
π: Ax+By+Cz+D=0 N=(A , үТB ,C) – нормаль вектор
А: Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш ретінде сол түзумен оның жазықтыққа түсірілген проекцциясының арасындағы бұрышты қарастырамыз
φ=π / 2 – (N,p) cos(N,p)=(|Al+Bm+Cn|) /( * )
sin φ= sin(π / 2 – (N,p))= cos(N,p)=(|Al+Bm+Cn|) /( * 39.Екі айқас түзудің ортақ перпендикуляры. Екі айқас түзудің арасындағы арақашықтық.
Түзулердің канондық теңдеуі берілсін
а: = = ; b: = =
Бізге екі айқас түзуге бір ғана ортақ перпендикуляр болатыны белгілі және ол а мен b түзулерінің ең жақын арақашықтығы болады.
а түзуі арқылы b түзуіне параллель α жазықтығын жүргіземіз. B түзуінен кез келген нүкте алып , α жазықтығына дейіннгі қашықтықты табамыз .
Айқас түзулердің ең жақын ара қашықтығы параллепипед биіктігі ретінде табылады.
Параллепипед а ={ } , b={ }және М1М2={x2-x1;y2-y1;z2-z1}векторлары арқылы жасалған . Оның биіктігі
H=
а мен b түзулері берілсін. Есепті шешу бірнеше кезеңдерден тұрады:
1.а түзуі арқылы в түзуіне параллель γ жазықтығын жүргіземіз.
2. а түзуі арқылы γ жазықтығына перпендикуляр α жазықтығын жүргіземіз.
3.в түзуі мен γ жазықтығына перпендикуляр β жазықтығын жүргіземіз.
α және β жазықтықтарының қиылысуы , ортақ перпендикулярдың теңдеуін береді