29.Жазықтықтың жалпы теңдеуін қорытып шығару.

OXYZ координаталар жүйесі Декарт тікбұрышты жүйе болса, онда (r-r₀, n)=0 яғни жазықтықтың нормаль арқылы жазылған вектор түріндегі теңдеудегі скаляр көбейтіндіні есептеп

n=(A,B,C), r=(x,y,z), r₀=(x₀,y_0,z₀)

(x-x₀)A+(y-y₀)B+(z-z₀)C=0 , Ax+By+Cz-Ax₀-By₀-Cz₀=0, бұл теңдеуде A,B,C коэффициенттері нормаль вектордың координаталары, D=-Ax₀-By₀-Cz₀. Осылайша біз

Ax+By+Cz+D=0 жазықтықтың жалпы теңдеуге келеміз. Ax+By+Cz+D=0 жалпы теңдеуінің айнымалылары бар сызықтық алгебралық теңдеу екендігі айқын.

Вектор мен жазықтықтың параллель болу шарты:

P: Ax+By+Cz+D=0, a=(a_1,a_2,a₃), b=(-B/A;1;0)|| P, c=(-C/A;0;1)||P

a||P <=> a компланар b,c <=> a₁ a₂ a₃

-B/A 1 0 =0

-C/A 0 1

a₁ + 0 + 0 + a₃ × C/A +a₂ × B/A=0

Aa₁ + Ba₂ + Ca₃ =0

30. Екі жазықтықтың өзара орналасуы туралы теореманы дәлелдеу.

n ₁ мен n₂ векторлары P₁ және P₂ жазықтықтарының нормальдары болсын. Онда P₁|| P₂ болу үшін n 1||n2, ал P₁ ḻ P₂ болу үшін n ₁ ḻ n₂ қажетті және жеткілікті болатындығы айқын. Осыдан, жалпы теңдеулерімен берілген екі жазықтықтың өзара орналасуын зеттеу оңай.

OXYZ Бір Декарт тікбұрышты координаталар жүйесінде P₁ мен P₂ жалпы теңдеулерімен анықталсын:

P₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, P₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Онда n₁=(A_1,B_1,C₁), n₂=(A_2,B_2,C₂) осы жазықтықтарының нормальдары болады. Бағытталған кесінділердің коллинеарлық a||b  α₁/Β₁ = α2/Β2= α₃/ Β₃

және перпендикулярлық a=(x₁,y_1,z₁); b=(x₂,y₂,z₂)  x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0 шартын пайдаланып, P₁ мен P₂ жазықтықтарының паралельдік және перпендикулярлық шартын табамыз.

P₁|| P₂  A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

P₁ ḻ P₂  A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

Егер P₁|| P₂ болса , онда P₁ᴖ P₂ түзу болады және сол сызықтың бағыттаушы векторы деп [n₁,n₂] векторын алуға болады. Шынында да n₁ ḻ P₁. n₂ ḻ P₂ , ал векторлық көбейту амалының анықтамасы бойынша n₁ ḻ [n₁,n₂], n₂ ḻ [n₁,n₂]. Ендеше [n₁,n₂]ϵ P₁ және[n₁,n₂]ϵP₂ , демек [n₁,n₂]ϵ P₁ᴖ P₂ . P₁ᴖ P₂ түзуінің бағыттаушы векторының координаталары қажет болғанда [n₁,n₂] координаталарын есептеу үшін

I j k

[a,b]= α₁ α₂ α₃ =

β₁ β₂ β₃

α₂ α₃ α₁ α₃ α₁ α₂

β₂ β_{3 ,} β₁ β_{3 ,} β₁ β₂

формуласын пайдалану керек.

Екі жазықтықтың беттесу шарты: P₁= P₂ <=> A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂

P₁= P₂ болсын. Онда P₁|| P₂ , демек A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂ шарты орындалады. Осыдан к пропорционалдық коэффициенті табылып, A₁=kA₂, B₁=kB₂, C₁=kC₂ болады. M₁=(x₁,y₁,z₁) ϵ P₁ᴖ P₂ түзуі болғандықтан

A₁x ₁+ B₁y₁ +C₁ z₁+D₁=0 және A₂x ₂+ B₂y₂ +C₂ z₂+D₂=0

Енді бірінші теңдіктен екіншісін к-ға көбейтіп азайтсақ, онда D₁ - k D₂=0

теңдігіне келеміз. Демек D₁ мен D₂ –нің пропорционадық коэффициенті де k-ға тең.

Керісінше A₁=kA₂, B₁=kB₂, C₁=kC₂=D₁/D₂ болсын. Онда A₁x ₁+ B₁y₁ +C₁ z₁+D₁=0 және

A₂x ₂+ B₂y₂ +C₂ z₂+D₂=0 сызықтық теңдеулер эквивалент болады. Ал эквивалент теңдеулер «кез келген екі эквивалент жүйе мәндес болады» тиоремасы бойынша мәндес болады, яғни бұл теңдеулердің шешімдері бірдей. Яғни P₁= P₂.