28.Жазықтықтың параметрлік және үш нүкте арқылы өтетін теңдеуін қорытып шығару.
P жазықтығында M0ϵP нүктесі және P жазықтығының бағыттаушы векторлары берілсін. O-kеңістіктегі қандай да бір полюс болсын. М нүктесі P жазықтығына тиісті болу үшін M0M кесіндісі P жазықтығына компланар болуы қажетті және жеткілікті, ал соңғы шарт M0M векторы P жазықтығының a,b базисі арқылы өрнектелуіне парапар. Демек,
MϵP <=> Ǝu, vϵR(M0M=ua+vb)
r-Деп M нүктесінің, ал r0 деп M0 нүктесінің радиус векторын белгілесек, онда M0M=r-r0 . Ендеше MϵP болу үшін келесі шарт қажетті және жеткілікті:
r=r0+ua+vb
u мен v параметрлік мәндерін R жиынында қабылдайды.
r=r0+ua+vb
теңдеуі P жазықтықтың вектор түріндегі параметрлік теңдеуі деп аталады.
OXYZ aффиндік координаталар жүйесіндегі M0,a,b координаталары мынадай: M0(x0,y0,z0),
a=(α1, α2, α3 ), b=(β1, β2, β3 ) болса, онда M(x,y,z) ϵP нүктесінің координаталары
x=x0+
α1u+
β1v
y=y0+ α2u+ β2v
z=z0+ α3u+ β3v
теңдеуімен анықталады.
x=x0+ α1u+ β1v
y=y0+ α2u+ β2v
z=z0+ α3u+ β3v
теңдеулері жазықтығының координаталар түріндегі параметрлік теңдеулері деп аталады.
P жазықтығының басқа бір сипаттауларын қарастырайық. М нүктесі жазықтығына тиісті болу үшін r-r0, a, b векторларының компланарлығ ы қажетті және жеткілікті. Соңғы шартты векторлардың аралас көбейтіндісін пайдаланып былай жазуға болады
(r-r0, a, b)=0
α1 α2 α3
(r-r0, a, b)=0 теңдеуіндегі аралас көбейтіндіні (a,b,c)= β1 β2 β3 × (e1 e2 e3 )
ϕ1 ϕ2 ϕ3
координаталар түрінде есептесек, мынандай теңдеуге келеміз:
x-x0 y-y0 z-z0
α1 α2 α3
β1 β2 β3
Енді үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін
x=x0+ α1u+ β1v
y=y0+ α2u+ β2v
z=z0+ α3u+ β3v ,
x-x0 y-y0 z-z0
α1 α2 α3
β1 β2 β3
формулаларын пайдаланып жазайық. Егер M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) бір түзу бойында орналаспайтын Pжазықтығындағы үш нүкте берілсе, онда a= M0M1, b= M0M2 және бағытталған кесінділері P жазықтығының бағыттаушы векторлары болады. Ендеше
x=x0+ α1u+ β1v
y=y0+ α2u+ β2v
z=z0+ α3u+ β3v
мен
x-x0 y-y0 z-z0
α1 α2 α3
β1 β2 β3
теңдеулерінде
α1=x1-x0, α2=y1-y0, α3=z1-z0.
Β1= x2-x0, Β2= y2-y0, Β3= z2-z0.
деп алу керек:
x=x0+ (x1-x0)u+(x2-x0)v
y=y0+ (y1-y0)u+(y2-y0)v
z=z0+ (z1-z0)u+(z2-z0)v
x-x0 y-y0 z-z0
x1-x0 y1-y0 z1-z0 =0
x2-x0 y2-y0 z2-z0